КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вопрос 12: критерий Коши существования предела последовательности, предела функции. Теорема 11.2 Имеет место равенство Теорема 11.1 Существует предел последовательности. Доказательство. Сначала докажем лемму Лемма 11.1. (неравенство Бернулли): Если , то . Доказательство. Используем метод математической индукции. При имеем: . Предположим, что при неравенство верно: . Тогда при имеем: . Неравенство доказано. Чтобы доказать существование предела , рассмотрим последовательность . Для членов этой последовательности: Применим неравенство Бернулли, обозначив , при этом очевидно, что . 1. Таким образом, . Так как , то , поэтому рассматриваемая последовательность убывает и ограничена снизу. Значит, существует предел . Так как , то и . Следовательно, . Таким образом, . Доказательство. (НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО ЕГО ЗНАТЬ. ПРИВЕДЕНО ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ МАТЕМАТИКОЙ)
Обозначим за n целую часть отношения . . Тогда справедливо неравенство: . Перепишем его в виде . Тогда . При этом , . В полученном неравенстве левая и правая части стремятся к e, т.к. . Таким образом, по теореме “о зажатой переменной” 9.3. получаем, что .
Обозначим . Получаем, что . Выражение при . Обозначив получаем, что . Тогда . Полученное выражение стремится к e при , т.к. . Теорема доказана. Определение 12.1. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность подпоследовательность исходной последовательности.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1165; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |