Линейное свойство производных высших порядков

Примеры

1) f(x) = x^α, x>0, α - фиксировано. Поскольку f´(x) = αx^α-1, f´´(x) = α(α-1)x^α-2, то, по индукции, получим f^(k)(x) = α(α-1)…(α-k+1)x^α-k, x>0, . Если α = n , то f(x) = xⁿ определена на всем и (xⁿ)^(k) = n(n-1)…(n-k+1)x^n-k, x , 1≤k≤n-1. При получим (xⁿ)⁽ⁿ⁾ = для всех x (так как (xⁿ)^(n-1) = n!x, x ), и поэтому (xⁿ)^(m) = 0 для всех x и всех .

2) f(x) = e^x, x . Поскольку f´(x) = e^x, f´´(x) = e^x, то f^(k)(x) = e^x, x , k .

3) f(x) = sinx, x . Поскольку f´(x) = cosx = sin(x+ ), то f´´(x) = (sin(x+ ))´ = cos(x+ )∙(x+ )´ = cos(x+ ) = sin(x+2 ), x , и, по индукции, f^(k)(x) = sin(x+k ), x , k .

4) f(x) = cosx, x . Так как f´(x) = -sinx = cos(x+ ), то f´´(x) = (cos(x+ ))´=-sin(x+ )∙(x+ )´ = -sin(x+ ) = cos(x+2 ), x , и, по индукции, f^(k)(x) = cos(x+k ), x , k .

5) f(x) = (1+x)α, x>-1, α - фиксировано. Как и в примере 1, получим f´(x) = α(1+x)^α-1(1+x)´ = α(1+x)^α-1, f´´(x) = α(α-1)(1+x)^α-2 и f^(k)(x) = α(α-1)…(α-k+1)x^α-k, x>-1, k .

6) f(x) = ln(1+x), x>-1. Так как f´(x) = (1+x)´ = = (1+x)^-1, то, на основании примера 5 с α = -1, получим f^(k)(x) = (f´)^(k-1)(x) = ((1+x)^-1)^(k-1) = (-1) (-2)…(-1-(k-1)+1)∙(1+x)^-1-(k-1) = (-1)^k-1(k-1)!(1+x)^-k = , k .

Теорема 21.1. Для любого числа , любых функций u и v, имеющих в какой-то точке x производные u⁽ⁿ⁾(x) и v⁽ⁿ⁾(x), и для любых чисел λ₁,λ₂ , функция w = λ₁u + λ₂v имеет в точке x производную w⁽ⁿ⁾(x) и w⁽ⁿ⁾(x) = (λ₁u(x) + λ₂v(x))⁽ⁿ⁾ = λ₁u⁽ⁿ⁾(x) + λ₂v⁽ⁿ⁾(x).

◄ Поскольку каждая производная высшего порядка получается из производной предыдущего порядка посредством операции дифференцирования, а операция дифференцирования и первая производная обладают свойством линейности, то это свойство переносится на производные всех порядков. ►

4. n-я производная произведения

Дата добавления: 2015-04-24