Основные понятия математической статистики 2 страница

Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается . Альтернативная гипотеза, которая обозначается , принимается в случае не принятия нулевой гипотезы. Однако если отвергается нулевая гипотеза, может быть принято решение об уточнении данных, а не о принятии альтернативной гипотезы .

По выборке из генеральной совокупности необходимо принять или отвергнуть гипотезу . С этой целью строится статистика, , которая имеет функцию распределения Область определения этой функции разбивается на две области: (правильная) и (критическая). Если , то принимается ; если , то принимается . .

При любом результате проверки гипотезы есть вероятность допустить ошибку. Если отклоняется верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Если принимается ложная гипотеза, то совершается ошибка второго рода.

Вероятность α совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости гипотезы. Этот уровень (вероятность отклонить верную гипотезу) выбирают как можно меньше (0,01; 0,05…) в том случае, если ошибка первого рода влечёт большие потери, а ошибка второго рода – малые. Единственный способ одновременного уменьшения вероятностей этих ошибок – это увеличение объёма выборки.

Пусть гипотеза состоит в том, что генеральная совокупность подчиняется некоторому закону распределения. По выборке нужно подтвердить или опровергнуть эту гипотезу. Критерий для проверки такой гипотезы называется критерием согласия.

При решении социологических задач модель закона распределения в общем случае неизвестна, поэтому возникает необходимость выбора закона распределения, согласующегося с результатами выборочных наблюдений. В предлагаемом задании следует рассмотреть критерий Пирсона, схема проверки которого состоит в следующем:

1. По выборочным данным проводят оценку параметров выбранной модели закона распределения. Предполагают, что закон распределения имеет r параметров.

2. Подставляя выборочные оценки значений параметров распределения, находят теоретические значения вероятностей:

i =1, 2, … k. (27)

3. Рассчитывают теоретические частоты:

где (28)

4. Рассчитывают значение критерия согласия Пирсона:

(29)

Эта величина при n стремится к распределению с l=k-r -1 степенями свободы. Поэтому для расcчётов используют таблицы распределения (Приложение 6).

5. Задаваясь достаточно малой вероятностью (уровнем значимости ), находят критическую область (она всегда правосторонняя) ((; ; значение ( определяют из соотношения . Если численное значение попадает в интервал ((, то гипотеза : F(x)= отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что выбранная модель закона распределения не подтверждается выборочными данными, при этом допускается ошибка, вероятность которой равна α.

Элементы теории корреляции

Многие социологические задачи требуют установить и оценить зависимость двух и более случайных величин. Эта зависимость может быть функциональной, статистической или совсем отсутствовать.

Отсутствие зависимости (связи) характерно для независимых случайных величин.

Если каждому значению случайной величины X соответствует определённое значение случайной величины Y, то говорят, что X и Y имеют между собой функциональную зависимость. Эта зависимость реализуется редко, так как обе величины подвержены действию случайных факторов.

Если каждому значению случайной величины X соответствует вполне определённый закон распределения случайной величины Y, то говорят, что X и Y имеют статистическую зависимость. Частным случаем такой зависимости является корреляционная зависимость, когда при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой.

Для исследования влияния одной величины на изменение другой рассматривают условные законы распределения первой величины при фиксированных значениях второй. Пусть Х получила одно из своих значений ; при этом другая величина Y может принять любое из возможных значений . Среднюю арифметическую значений Y, соответствующих значению называют условной средней .

Корреляционной зависимостью Y от X называют функциональную зависимость условной средней от x, а выражение (30) уравнением регрессии Y на X, её график – линией регрессии Y на X.

=f(x) (30)

Аналогично определяется условная средняя , и корреляционная зависимость Х от Y.

Выражение (31) называют уравнением регрессии Х на Y, а функцию - регрессией Х на Y, её график – линией регрессии Х на Y.

= (31)

Задача теории корреляции состоит в определении формы корреляционной зависимости и оценки тесноты этой зависимости. Функция регрессии может быть линейной, квадратичной, показательной и т. д. Если функции (30), (31) линейные, то корреляционная зависимость называется линейной, в противном случае – нелинейной.

Степень зависимости Y от X оценивается по величине рассеяния значений Y вокруг условного среднего . Большое рассеяние свидетельствует о слабой зависимости, либо об её отсутствии, малое – указывает на не достаточно сильную зависимость.

Для того, чтобы иметь конкретное представление о двумерном распределении и его характеристиках, результаты n наблюдений, в каждом из которых регистрируются совместные значения X и Y, вносят в корреляционную таблицу (таблица 7).

Если одна и та же пара чисел (x,y) наблюдается несколько раз, то эти данные группируют, т.е. подсчитывают частоты .

В первой строке таблицы указывают наблюдаемые значения признака Х, а в первом столбце – наблюдаемые значения признака Y. На пересечении строк и столбцов вписывают частоты наблюдаемых пар значений признаков. В последнем столбце записывают суммы частот строк, а в последней строке – суммы частот столбцов. В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещают сумму всех частот, т.е. общее число всех наблюдений.

Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид:

(32)

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента k обозначим через , а оценку b через , т.е.

= (33)

Используя метод наименьших квадратов, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений теоретических значений функции от наблюдаемых значений , получим формулы для отыскания и .

, (34)

, (35)

где , (36)

, (37)

, (38)

. (39)

Однако чаще уравнение регрессии записывают в другом виде с использованием выборочного коэффициента корреляции. Для этого находят , :

, (40)

, (41)

, (42)

где - частота пары ().

Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

(43)

или выборочное уравнение линейной регрессии X на Y в виде:

. (44)

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной корреляционной зависимости. Отметим свойства коэффициента :

1.

2. Если X и Y независимы, то . Если , то X и Y – некоррелированы.

3. При | |=1 зависимость становится линейной.

Для получения выводов о практической значимости математической модели, показаниям тесноты связи даётся качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока: если 0,1< <0,3 – связь слабая, если 0,3< <0,5 – связь умеренная, если 0,5< <0,7 – связь заметная, если 0,7< <0,9 – связь высокая, если 0,9< <0,99 – связь весьма высокая.

В случае нелинейной корреляции утрачивает своё значение, как мера связи.

Может оказаться, что для некоторой таблицы распределения =0, в то время как между величинами имеется несомненная зависимость. Для измерения степени зависимости в случае нелинейной корреляции между случайными величинами применяется корреляционное отношение:

, (45)

где - выровненные точки регрессии.

Корреляционное отношение имеет следующие свойства:

1. .

2. Если =0, то признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не связан.

3. Если =1, то признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью.

4. Если , имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

5. Во всех других случаях .

Для оценки адекватности уравнения регрессии может использоваться показатель средней ошибки аппроксимации:

%, (46)

где - линейные отклонения абсолютных величин эмпирических и выровненных точек регрессии.

При <10% модель является достаточно адекватной реальной зависимости величины Y от X.

При численности объектов анализа n<30 возникает необходимость определения точности и значимости параметров , , .

Для оценки значимости применяется t-критерий Стьюдента. При этом определяется фактическое значение критерия:

(47)

Вычисленное значение t сравнивается с критическим, которое берётся из таблицы значений t-Стьюдента с учётом заданного уровня значимости и числа степеней свободы k.

Если t> , то величина признаётся существенной.

Для оценки значимости параметров и сначала определяют среднее квадратическое отклонение результирующего признака от выровненных значений :

(48)

Затем вычисляют среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней :

(49)

При этом фактические значения t-критерия:

для параметра :

(50)

для параметра :

(51)

Полученные по формулам фактические значения и сравниваются с критическим . Полученные в анализе корреляционной зависимости параметры уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического:

> < (52)

Далее находят доверительные интервалы для коэффициентов и :

(53)

, (54)

где (55)

При вычислении прогнозного значения необходимо получить оценку его точности. При заданных значениях надёжности , степени свободы k и найденному получим:

(56)

В заключении необходимо отметить, что на основе проделанного корреляционного анализа делаются выводы о пригодности математической модели и её практическом использовании.

Дата добавления: 2015-04-24