Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод наименьших квадратов




Регрессионный анализ

Довольно часто в практике исследовательской работы имеет место ситуация, когда важнейшие переменные, описывающие некоторый процесс, известны заранее, но модель процесса еще не известна. В этом случае возможны разные подходы. Одним из них является построение эмпирических моделей.

Построение эмпирических моделей предполагает проведение экспериментов или наблюдений для сбора опытных данных, выбор одной определенной модели из некоторого множества возможных, вычисление коэффициентов модели («подгонку») и оценку полученных результатов.

Число цветков при разном количестве неорганического брома в почве.

Кол-во брома (мкг/см3) 2 4 6 8 10 12 14
Среднее число цветков 3,6 2,9 3,2 1,8 2,3 1,7 0,8

 

 

Метод наименьших квадратов, разработанный знаменитыми математиками К. Гауссом и А. Лежандром, берет свое начало от задач геодезии и астрономии. Рассмотрим его существо на примере линейной модели. Итак, пусть для представления полученных данных мы выбрали линейную модель y*=a+bx, где х – независимая переменная, т. е., переменная, которую экспериментатор может менять по своему усмотрению; y* - зависимая переменная или отклик; a и b – коэффициенты (параметры). Из данных, приведенных в примере, видно, что именно такой моделью (уравнением прямой линии) может быть описана зависимость.

С другой стороны, видно что реально наблюдаемые значения отклика yi несколько отличаются от откликов yi*, соответствующих уравнению модели. И такое положение будет всегда, даже в тех случаях, когда зависимая и независимая переменные будут связаны строгой функциональной зависимостью. В этом случае отклонения эмпирических значений от теоретических связаны с погрешностями измерений, которые всегда имеют место.

Итак, каждому значению независимой переменной в общем случае соответствует ошибка: ei=yi-yi*.

Естественно, что в зависимости от того, как будет проведена прямая, аппроксимирующая набор экспериментальных данных, величины ei будут различны. Именно, для того, чтобы избежать субъективности при построении эмпирической модели, и был разработан метод наименьших квадратов, позволяющий однозначно определить параметры выбранной модели. В основе этого метода лежит критерий минимизации суммы квадратов ошибок, т. е. требование, чтобы была минимальной.

Покажем, как используется метод наименьших квадратов на примере оценки параметров для уравнения y*=a+bx.

В общем случае необходимо решить систему уравнений:

, из которых находятся коэффициенты a и b.

Подставляя данные из примера, получаем:

16,3=7a+56b

107=56a+560b

Откуда a=4, b=-0,209.

В таблице приведено сравнение между реальными и теоретическими данными, а также величины ошибок.

Y 3,6 2,9 3,2 1,8 2,3 1,7 0,8
y* 3,582 3,164 2,746 2,328 1,91 1,492 1,074
ei 0,018 -0,264 0,454 -0,528 0,39 0,208 -0,274
Сумма ei 0,825            

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 499; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.