Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 12. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка




Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

 

Пример. . Заметим, что - решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение уравнения .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента радиус-вектора в точке касания.

- решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

 

 

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

- формула Циолковского.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 339; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.