ТЕМА 5. Непрерывность функции

ТЕМА 4. Функции действительного переменного.

Понятие функции. Способы задания функции: аналитический, логический, графический, табличный. Задача интерполяции. Неявно заданная функция. Функции заданные параметрически.

Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее, наименьшее значение функции на множестве.

Операции над функциями. Композиция функций: сумма (разность), произведение, частное двух функций. Суперпозиция двух функций, сложная функция. Понятие обратной функции. Основные свойства взаимно-обратных функций. Необходимое условие существования обратной функции.

Классификация функций. Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства). Элементарные функции: целые рациональные (линейная, квадратичная функции), дробно-рациональные (дробно-линейная функция), иррациональные, трансцендентные. Свойства и графики степенных функций. Функции в экономическом анализе.

Предельное значение функции натурального аргумента. Предел функции. Определение предела функции в терминах e – d, в терминах последовательностей. Эквивалентность определений предела. Правый, левый предел функции. Предел функции на бесконечности. Различные виды предельного перехода.

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших: линейная комбинация бесконечно малых, произведение бесконечно малой на ограниченную, произведение бесконечно малых, отношение ограниченной и бесконечно малой, отношение ограниченной и бесконечно большой функции.

Существование предела монотонной функции.

Критерий Коши существования предела функции.

Свойства функций, имеющих предел: предел постоянной, суммы, произведения, частного, переход к пределу в неравенствах, принцип двустороннего ограничения.

Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей.

Первый замечательный предел, его следствия. Второй замечательный предел, его следствия.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки. Функции одного порядка, функции высшего и низшего порядка малости и роста, эквивалентные бесконечно малые, главная часть функции, применение при вычислении пределов.

Различные определения непрерывности функций в точке. Непрерывность справа (слева). Взаимосвязь понятий. Точки разрыва, их классификация.

Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции.

Непрерывность функций одной переменной и их предельные значения. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на множестве: теорема Больцано-Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, следствие теоремы о прохождении через нуль при смене знаков, теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и достижении верхней и нижней грани.

Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.

Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора.

Дата добавления: 2015-04-24