Лекция 3. Аналогия — это сходство различных объектов по некоторым признакам

Аналогия — это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называются аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналоговыми, называют сходственными. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии.

Совокупность основных и производных единиц, составляют систему единиц измерения.

Производную единицу физической величины можно определить символически в двух формах.

П е р в а я выражает производную единицу через единицу
физических величин определяющего уравнения и раскрывает ее
физический смысл. По существу она является конкретным представлением размера Х.

В т о р а я форма выражает производную единицу через основ
ные единицы, не раскрывает ее физического смысла, имеет не
сколько абстрактный характер, но отличается определенной сущно
стью для всех физических величин. Эту форму представления производной единицы называют размерностью и обозначают { х }. Раз
мерность — это символическое выражение величины через основные единицы, показывающие соотношение между их размерами без
указания этих размеров.

Величина называется безразмерной, если ее размерность равна
единице.

Основное свойство аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании
умозаключения по аналогии. Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме в
последовательности:

1. Установлено, что объект О₁ обладает свойствами С₀, C₁,..., С_n, В₀, В₁,..., В_k.

2. Установлено, что объект О₂ обладает свойствами C₁,C₂,...,C_n; G₁, G₁,..., G_n.

3. Возможно, что объект О₂ обладает свойством С₀ как и объект
О₁.

4. Однако очевидно, что если среди G₁, G₁,..., G_n есть хотя бы
одно свойство G_i не совместимое с С₀ то сходство объектов по
свойствам G₁, G₁,..., G не имеет значения.

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия, обеспечивающему строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Здесь имеется в виду важнейший вид количественной аналогии — аналогии математической, т.е. сходство объектов по их математическому описанию. Наиболее полная математическая аналогия имеет
место, если объекты описываются сходными функциями и уравнениями.

Сходственные функции различаются только аргументами и не-
нулевыми постоянными, например:

Z= x cos y;
U = 2 cos З р;

ψ = 4 S cos (5 t — 6);

Q = 7 k соs (8 е + 6).

Сходственными являются первая и вторая, третья и четвертая
функции, т.е. это переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии
с этим можно говорить о сходственных постоянных, когда сходственные уравнения получаются приравниванием к нулю или друг
к другу.

Аналоговое моделирование — это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии. Такое
моделирование используется обычно при слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения о нем носят качественный характер.

Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании
подобия.

Модели подобия — это полная математическая аналогия при
наличии пропорциональности между сходственными переменными,
неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях сходственных уравнений.

Математическое описание конкретного объекта (его расчетная
модель) может иметь разнообразную форму. В самом простейшем
случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы х:

Y= f (x ₁, x ₂ ,..., x_n)

или сокращенно

Y = f (х _i), i = 1,..., n.

В более сложном случае конечное уравнение

F(y, х₁, х₂,..., х_n) = 0

выражает зависимость Y=f (х_i) в неявной форме. Математическое описание может быть выражено в виде дифференциального уравнения.

Два объекта подобны, если:
1) они имеют сходственные математические описания

F (y ₁, x _1i, t _{1 j} , D _{1 j} , А_1s) = 0;

F (y ₂, x _2i, t _2j, D _2j, А_2s) = 0;

где

у₁ = у₁(t _{1 j} ); х ₁ = х ₁(t _1j); D _1j=d/d t _1j;

у₂ = у₂(t _2j); х ₂ = х ₂(t _{2 j} ); D _{2 j} = d/d t _{2 j} ;

— неизвестные и заданные функции независимых переменных t _{1 j} и t _{2 j} ;

2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называются масштабами или константами подобия:

m_y = y₁/y₂; m_xi = x_1i/x_2i; m_ti = t_1i/t_2i.

При этих условиях сходственные уравнения и функции, описывающие математические аналогии, а также содержащиеся в них сходственные переменные называются подобными. Подобные функции
могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной
и той же кривой или поверхностью. В частном случае возможны
геометрическое, физическое и временное подобия:

• геометрическое — это подобие геометрических образов (точек,
линий, фигур, тел);

• физическое — подобие физически однородных объектов;
• временное — подобие функций времени.

В случае временного подобия безразмерный масштаб времени
представляет отношение сходственных временных интервалов, которым соответствует неизменное отношение значений или приращений подобных временных функций:

m_t = t₁/t₂ = τ₁/ τ ₂.

Понятие геометрического подобия или подобия геометрических
образов в теории моделирования понимается в более широком смысле, чем это обычно принято. Самое общее определение его вытекает
из понятия подобия функций, описывающих геометрические образы. Два образа геометрически подобны в широком смысле, если при
соответствующем расположении этих образов в некоторой системе
координат подобны их математические описания.

назад

Дата добавления: 2015-04-24