Равносильность уравнений на множестве

Ответ на этот вопрос дает теория равносильности уравнений

Пусть даны два уравнения с одними и теми же неизвестными и рассматриваемые на некотором множестве D:

= , (1)

= , (2)

Обозначим множество решений уравнения (1) через M, а множество решений уравнения (2) - N.

Определение 2. Если ( - включено), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Другими словами, если число корней уравнения (2) больше, числа корней уравнения (1).

Определение 3. Если M = N, тогда уравнения (1) и (2) называются равносильными. Иначе, если решения уравнения (1) являются решениями уравнения (2) и, наоборот, решения уравнения (2) являются решениями уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) называются равносильными.

Понятие равносильности обладает свойством транзитивности.

Если на множестве D имеют место уравнения:

= и = ,

тогда

= .

Два уравнения могут быть равносильными относительно одного числового множества и не быть равносильными относительно другого числового множества.

Например, уравнение и равносильны на множестве рациональных чисел. В самом деле, на множестве рациональных чисел, первое уравнение имеет один корень и второе уравнение имеет также только один корень , а два других значения не входят в множество рациональных чисел и, следовательно, не являются корнями на этом множестве.

Но эти уравнения не равносильны на множестве действительных чисел, ибо у первого уравнения - одни корень: , а у второго уравнения - три: ,

Примеры. Равносильны ли уравнения:

1. и на множестве действительных чисел?

Решение

Первое уравнение имеет на множестве действительных чисел один корень, , и второе уравнение имеет также один корень , на этом множестве. значит уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

2. и на множестве натуральных чисел? на множестве действительных чисел?

Решение

Дата добавления: 2015-04-24