Основные определения. Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Матрицы и определители широко используются при записи и решении СЛАУ, т.е. систем вида

(1)

где - заданные действительные числа, а – неизвестные, подлежащие определению.

Определение 2.1 Набор чисел , обращающий каждое из уравнений системы (1) в верное числовое равенство, называется решением системы.

Систему (1) можно записать в матричном виде

,

где - матрица коэффициентов;

- матрица - столбец неизвестных;

- матрица - столбец свободных членов.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, до­полненная столбцом свободных членов:

Система уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

В случае неопределенной системы каждое ее решение называется частным решением. Совокупность всех частных решений системы называется ее общим решением.

Решить систему – значит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности системы, найти все ее решения.

Ответ на вопрос о совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными дает следующая теорема.

Теорема Кронекера–Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, т. е.

.

При этом:

– если ранг совместной системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение;

– если ранг совместной системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесчисленное множество решений.

Замечание 1. Если то число называется рангом системы.

Дата добавления: 2015-04-24