Процесс установления колебаний

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Процесс установления колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные кривые. Резонанс.

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз. вынужденными.

mx``=-Dx-bx`+F₀coswt

x``+2gx`+w₀²x=(F₀/m)coswt

Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Он происходит потому, что с течением времени затухнут собственные колебания. Время установления колебаний определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия силы - t = 1/g. Даже если начальных колебаний не было, то все равно время установления будет тем же.

a) малые частоты: w<<w₀, w₀А=(F₀/m)sinwt, A(t)=(F₀/m w₀²)sinwt =(F₀/k) sinwt

б) большие частоты: w>>w₀, Ä@(F₀/m)sinwt, А=(F₀/mw²)sin(wt-p)

в) резонанс: w»w₀: Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью пе­репишем уравнение в комплексном виде:

(12.29)

а его частное решение будем искать в виде

(t)=A . (12.30)

Реальная часть этого решения будет решением уравнения (12.27)(вместо в 12.29. cos wt) Подставляя (12.30) в (12.29), получаем

Из условия стационарности решения (независимости его от вре­мени) следует, что a=w, откуда

A есть комплексное число, которое удобно представить в экспоненциальном виде A=x+iY=Ao . Тогда модуль А будет A о= , а его фаза tgj=Y/X.. Получаем

, tg j = (2gw)/(w₀²-w²).

Дата добавления: 2015-04-24