Метод Ньютона

Строгие формулировки теорем об условиях сходимости метода Ньютона (см., например, [1, 3, 7]) достаточно громоздки, на практике часто ограничиваются следующим рассуждением.

Пусть для системы нелинейных уравнений

f_k (x ₁, x ₂, …, x_n) = 0, 1 ≤ k ≤ n,

в некоторой ε-окрестности точного решения не равен нулю определитель

матрицы частных производных (матрицы Якоби):

.

Тогда существует начальное приближение , принадлежащее
ε-окрестности точного решения (достаточно близкое к точному решению), что метод Ньютона

(2.14)

сходится к точному решению.

Пример 2.10. Решить методом Ньютона систему нелинейных уравнений из примера 2.7

Решение. Найдем определитель матрицы Якоби:

.

Очевидно, что в некоторой окрестности точки (0,641; 0,801) определитель матрицы Якоби не равен нулю. Найдем матрицу, обратную к матрице Якоби:

Теперь для данной системы метод Ньютона можно записать в виде итерационных формул:

В таблице 2.13 приведены результаты расчетов по этим формулам с начальным приближением (0,5; 0,5):

Таблица 2.13

k	x^k	y^k
	0,5	0,5
	0,586237906918075	0,836237906918075
	0,642171611104366	0,802083615782865
	0,641713916176861	0,801071121263283
	0,641714370872886	0,801070765209299
	0,641714370872883	0,801070765209218
	0,641714370872883	0,801070765209218

Третий шаг итераций дает результаты, совпадающие до трех цифр с решением примера 2.8, а пятый и шестой шаги дают значения, совпадающие друг с другом точно. Это говорит о том, что достигнута максимальная точность. Эти результаты объясняются высокой скоростью сходимости метода Ньютона.

Задания для самостоятельного решения.

Для следующих уравнений

а) найти графическим способом с точностью до 0,1 интервалы, содержащие корни;

б) для каждого интервала проверить условие применимости метода итераций и метода Ньютона;

б) уточнить корни методом итераций или методом Ньютона, если выполняются условия сходимости, или методом половинного деления, до точности 0,0001.

1.	cos 3 x – x ^3 = 0.	11.	x e^–^x + 3 x –5 = 0.	21.	e^x(x –5) + 3 = 0.
2.	cos^2 x – x ^4 = 0.	12.	e^–^sin x + 3 x = 0.	22.	e^– x – 3 x –5 = 0.
3.	tg x + x = 1, [0; 1].	13.	3^3– x – cos x = 0.	23.	e^2 x∙ln x – x = 0.
4.	ln(1 + x ^2) – x ^3 = 1.	14.	sin(1 + x ^2) = x.	24.	tg x – ln(– x) = 0.
5.	sin(e ^x) + 3 x = 0.	15.	x ^2 + sin^2 x = 2.	25.	x ^1/3 + 2tg x = 1. (0; 3)
6.	sin x /e ^x + x ^2 – 1 = 0.	16.	e^–2 x – 3 x ^3 = 0.	26.	e^–2 x – 3 x ^3 = 0.
7.	tg^2 x + x = 1. [0; 1].	17.	e^– cos x – x ^3 = 0.	27.	e^2 x∙tg x – x = 1. (0; 4)
8.	x /(1 + x ^4) = ln x.	18.	x ^2 + ln x + 2 = 0.	28.	1/ln x – x = 0.
9.	x ^3 – 2ctg x = 0. [1; 2].	19.	x ^4 – sin^2 x + x – 1 = 0.	29.	x ^5 – 2cos x = 0.
10.	x ^5 – 2cos x + 1 = 0.	20.	(7 – x ^2)ln x = 2 – x.	30.	sin x – x ^2 + 1 = 0.

Найти приближенное решение системы двух уравнений графическим способом и уточнить его методом Ньютона или методом итераций до 0,0001:

31. 32. 33. 34.

35. 36. 37. 38.

39. 40. 41. 42.

43. 44. 45.

Ответы к уравнениям (с точностью до 0,0001):

1. – 0,9960; – 0,5940; 0,4001; 2. ± 0,8241; 3. 0,4798; 4. –0,7977; 5. –0,2366;
6. 0,8234; 7. 0,5767; 8. 1,3602; 9. 1,0483; 10. 0,8183; 11. 1,5572; 12. – 0,5735;
13. 4,8446; 14. 0,9472; 15. 1,0987; 16. 0,4975; 17. 0,7910; 18. 0,1330;
19. – 1,4001; 0,9189; 20. 1,1601; 2,7871; 21. – 0,6294; 22. – 0,8706; 23. 1,1258;
24. –0,5452; 25. 0,2032; 0,9294; 26. 0,4976; 27. 0,5027; 3,1492; 28. 1,7632;
29. 1,0118; 30. – 0,6367; 1,4096.

Ответы к системам нелинейных уравнений (с точностью до 0,01):

31. (– 0,40; 0,57); 32. (– 0,61; 0,37), (0,96; 0,92); 33. (0,76; 0,65); 34.
(0,077; 0,11); 35. (0,87; 0,85); 36. (0,62; 0,53); 37. (0,95; 1,02);
38. (1,197; – 2,31); 39. (0,58; 0,67); (1,85; 1,27) 40. (1,76; 1,78).
41. (–0,28; 1,32), (0,75; 0,47); 42. (–0,46; 0,79), (0,81; 0,21); 43. (–0,27; 0,69), (0,56; 0,43) 44. (0,48; 2,62); 45. (–0,91; –0,79).

Дата добавления: 2015-04-25