КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Механические колебания и волны. 3 страницаВзаимосвязь между этими тремя величинами и декартовой системой координат определяется соотношениями вида: Компоненты скорости могут быть далее выражены через соответствующие компоненты сферической системы координат, т.е. тогда соответственно будем иметь: Запишем теперь аналитическое выражение для функции Гамильтона в сферической системе координат, учитывая при этом, что: здесь: Таким образом, функцию Гамильтона можно представить к виду: здесь: тогда будем иметь соответственно: Зная вид гамильтониана в декартовой системе координат, преобразуем его в сферическую систему координат. Для этого запишем кинетическую энергию как функцию координат и соответствующих скоростей путём подстановки производных в выражение для кинетической энергии: здесь: С учётом приведенных выше соотношений, будем иметь соответственно: или после взятия производной функции, с последующим возведением в квадрат результатов дифференцирования имеем соответственно: и аналогично: а также: Складывая выражения для каждой из компонент, будем иметь соответственно: или в окончательном виде: поскольку: тогда соответственно: Выразим теперь кинетическую энергию через импульсы в сферической системе координат. С учётом уравнений Гамильтона: выражение для кинетической энергии в сферической системе координат, очевидно, может быть переписано в виде: Дифференцирование выражения для кинетической энергии по каждой из обобщённых координат, даёт выражения вида: поскольку: а также с учётом того, что: будем для гамильтониана соответственно иметь выражение вида: где Таким образом, в ходе проделанных выкладок, приходим к выражениям для гамильтониана соответственно в полярной: и сферической системах координат: где Итак, рассмотрим плоское движение частицы по орбите в плоскости . Учитывая плоский характер орбиты, направим ось вдоль постоянного вектора : При таком выборе декартовой системы координат, две компоненты вектора момента импульса частицы и очевидно будут равняться нулю. Тогда, вектор момента импульса (углового момента) можно записать как: и движение совершается в плоскости, перпендикулярной оси . Из-за сохранения сектора , значение угла сохраняется: следовательно: и гамильтониан: после подстановки соответствующих граничных условий очевидно может быть сведен к виду: Таким образом, при рассмотрении плоского движения частицы мы в равной мере можем пользоваться как полярной, так и сферической системами координат. Покажем теперь, что импульс на самом деле совпадает с - компонентой момента импульса . Для этого раскроем как векторное произведение: Заметим, что вычисление скобок Пуассона приводит к соотношениям вида: остальные же получают на основании правила циклической перестановки индексов, на основании которого можно легко получить аналитическое выражение для соответствующих проекций момента импульса: Действительно, поскольку: и как следствие: то можно ограничиться только одной из проекций углового момента: Поскольку по определению: тогда после подстановки данных значений переменных в выражение проекции момента импульса на ось , будем иметь соответственно:
раскрывая в полученном выражении скобки и учитывая, что: будем иметь соответственно: откуда следует, что: преобразуя полученное выражение к виду: будем иметь соответственно: и таким образом: Поэтому выражение для гамильтониана: с учётом приведенных выше рассуждений можно будет представить далее к виду: Поскольку для вектора: оказывается справедливым: имеем соответственно: Именно такого рода гамильтонианом описывают движение электрона в атоме водорода. Найдём условия движения частицы по кругу. Так, например, если частица совершает устойчивое круговое движение в центральном силовом поле (поле постоянного потенциала), то очевидно её радиус будет являться постоянным: отсюда следует, что первый член в выражении для энергии будет равен нулю: В связи с этим удобно ввести так называемый эффективный потенциал: Очевидно, частица будет совершать круговое движение , при условии, что производная по радиусу от эффективного потенциала равна нулю: Учитывая выражение для потенциальной энергии: имеем: Выясним, как ведут себя разноименные взаимодействующие между собой заряды; т.е. задача будет сводиться к выяснению характера их взаимодействия. Для этого вычислим производную от по и приравняем её нулю. В результате получим выражение вида: Поскольку левая часть в полученном выражении отрицательна, необходимо, чтобы произведение зарядов имело отрицательный знак: что в свою очередь будет соответствовать притяжению разноимённо заряженных частиц. Необходимо также отметить, что выражение: является условием равновесия двух сил: центробежного отталкивания (левая часть) и кулоновского притяжения (правая часть). Действительно, поскольку по определению: тогда для всех допустимых значений , будем иметь соответственно: из не отрицательности следует требование: Данные неравенства задают допустимую область изменения . Так, неравенства: показывают, что при область движения становится не ограниченной – движение инфинитное. В этом случае эффективная сила - направлена от центра, и частица уходит в бесконечность. Иными словами, инфинитному движению соответствует несвязанное состояние. При , движение совершается в ограниченной области пространства – финитное движение. В данном случае частица находится вблизи силового центра, а эффективная сила направлена к силовому центру, связанному с частицей . 4.2. Многочастичные колебательные системы. Исследуем теперь колебательные движения системы с степенями свободы относительно некоторого устойчивого её равновесного положения. Это значит, что существуют значения обобщённых координат , когда силы отсутствуют: и система покоится. Выведем систему из равновесия, придав каждому равновесному значению некоторую малую добавку : Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора: однако в силу равенства: линейные по члены исчезают и при разложение: сводится к уравнению: здесь есть силовая постоянная, характеризующая упругость (сопротивление) системы при одновременном растяжении -той и -той обобщённых координат. В ряде литературных источников данную константу называют ещё силовой постоянной. Необходимо отметить, что уравнения движения Ньютона в форме: требуют в общем случае вычисления силы . Для этого более подробно запишем полученное нами уже ранее выражение. Так, имеем соответственно: и соответственно: где учтено, что . Откуда становится очевидным, что уравнение: переходит в линейную однородную систему дифференциальных уравнений: Избавимся теперь от масс переходом к «масс-взвешенным» координатам: а именно: Решение данной системы, обобщающей уравнение: имеет гармонический вид: или если колебательный процесс в многочастичной системе имеет косинусоидальную зависимость, тогда: для каждой обобщённой координаты: или Числа определяют вклад -той обобщённой координаты в коллективное колебание всей системы частиц, совершаемое с единой частотой . Величины удобно нормировать как компоненты единичного вектора условием: Тогда для данного колебания с частотой величина – максимально возможное смещение частицы. Рассмотренное согласованное гармоническое движение всех частиц называют собственным, или нормальным, колебанием системы. Числа определяют так называемую форму нормального колебания. Нахождение частот и форм разрешённых нормальных колебаний сводится к решению алгебраической задачи. Подставив выражение условия нормировки: в систему уравнений вида: будем иметь соответственно: Сократив уравнение: или на ненулевую функцию , получим систему линейных однородных уравнений для , то есть имеем соответственно: или в развёрнутом виде: По теореме Кронекера – Капелли данная однородная система имеет нетривиальное решение только при нулевом значении детерминанта (определителя) системы: Если раскрыть определитель , то по отношению к он окажется к многочленом -й степени уже за счёт произведения диагональных элементов: Полученный многочлен называют вековым многочленом, а систему уравнений вида: называют системой вековой, где уравнениями типа. Как известно, многочлен -й степени имеет ровно комплексных корней, т.е. Действительность всех корней гарантируется симметричностью матрицы: Однако положительность , а следовательно и возможность получения действительных частот является следствие постулированной устойчивости механической системы. Теперь уточним общее решение рассмотренной выше системы вековых уравнений: Зная -ю частоту , находим из однородной системы вековых уравнений -й набор неизвестных величин , нормированных условием вида: Более точно полученный набор величин следует обозначать через , явно указывая дополнительным индексом , для какой частоты он получен. Тогда в терминах введенных нами выше обозначений, общие решения для -й частоты будут иметь вид: или где и – амплитуда и фаза -го нормального колебания. Значениями и можно распорядиться так, чтобы учесть любые начальные условия. Общее решение представляет собой комбинацию соответствующих частных решений: Таким образом, оказывается линейной комбинацией «гармонических» координат : или Каждая из гармонических координат совершает независимое колебание со своей частотой и называется нормальной. В этих терминах выражение: есть разложение произвольного колебания системы на нормальные колебания. Рассмотрим простейший пример колебаний системы с двумя степенями свободы: Вековое уравнение этой системы: Для симметричного случая, то есть когда , уравнение: имеет простые решения вида: Подставляя значения и в систему: находим коэффициенты формы колебаний , для и , для и таким образом имеем соответственно:
Дата добавления: 2015-04-25; Просмотров: 425; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |