Образовательные технологии. Содержание дисциплины

Содержание дисциплины

Тематика семинарских занятий соответствует тематике лекций

Раздел 1 «Функции одной переменной»

(лекции – 36 часов, семинары – 28 часа, самостоятельная работа – 96 часов)

Тема I. Введение. Элементы теории множеств и функций

Предмет математического анализа и его роль в экономической теории.

Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие, отношение, бинарное отношение. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры.

Элементы математической логики: логические символы, утверждение, следствие, прямая и обратная теоремы, необходимые и достаточные условия.

Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Элементарные функции. Обратное отображение. Композиция отображений.

Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Множества плотные в себе, совершенные множества. Открытые и замкнутые множества.

Тема II. Предел и непрерывность функции одной переменной

Примеры последовательностей. Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Лемма о существовании предельной точки у ограниченного бесконечного множества на числовой оси.

Предел функции одной переменной. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на бесконечности. Свойства операции предельного перехода. Предельный переход в сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Символы о -малое и О -большое и их использование для раскрытия неопределенностей.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции.

Верхняя (нижняя) грань, глобальный максимум (минимум) функции в ее области определения.

Тема III. Производная функции одной переменной

Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной.

Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций.

Тема IV. Исследование дифференцируемых функций одной переменной

Понятие об экстремумах функции одной переменной.

Локальный экстремум (внутренний и граничный) функции одной переменной.

Необходимое условие внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Теоремы о среднем значении (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной.

Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости).

Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции одной переменной.

Исследование функции одной переменной с использованием первой и второй

производных и построение ее графика.

Раздел 2. Интегрирование функций одной переменной

(лекции – 16 часов, семинары – 16 часа, самостоятельная работа – 46 часов)

Тема V. Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Приемы интегрирования (разложением, заменой переменной и по частям).

Тема VI. Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования). Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Интегрируемые по Риману функции. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости.

Раздел 3 «Функции нескольких переменных»

(лекции – 10 часа, семинары – 12 часа, самостоятельная работа – 48 часов)

Тема VII. Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве

Множество всех двумерных векторов. Геометрическая и экономическая интерпретация двумерных векторов. n-мерные вектора. Операции сложения n-мерных векторов и их умножения на действительные числа. Свойства этих операций. Скалярное произведение. Понятие n-мерного евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства. Понятие окрестности точки, окрестности с выколотым центром. Понятие предельной, внутренней и граничной точек точечного множества на плоскости и в п -мерном пространстве. Открытые и замкнутые множества на плоскости и в п -мерном пространстве. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и п -мерного пространства. Выпуклые и невыпуклые множества на плоскости и в п -мерном пространстве.

Понятие расстояния. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Замкнутость. Компактные множества. Понятие области. Отделимые множества. Понятие направления в точке.

Последовательность точек на плоскости и в n -мерном пространстве. Понятие ограниченной и неограниченной последовательности точек. Взаимосвязь с покоординатной сходимостью. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Лемма о предельной точке.

Тема VIII. Функции нескольких переменных (ФНП)

Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Карта множеств уровня функции двух переменных, взаимное расположение линии уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных

Тема IX. Дифференцируемые ФНП

Частные производные и частные дифференциалы. Градиент ФНП. Дифференцируемость ФНП. Главная линейная часть приращения ФНП. Полный дифференциал ФНП. Геометрическая интерпретация частных производных. Касательная плоскость к графику ФНП. Дифференцируемость сложных ФНП. Производная по направлению. Ортогональность градиента и множества уровня ФНП в точке ее дифференцируемости. Частные производные порядка выше первого. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

Тема X. Двойные интегралы

Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

Раздел 4 «Ряды»

(лекции – 14 часа, семинары – 20 часов, самостоятельная работа – 40 часов)

Тема XI. Числовые, функциональные и степенные ряды

Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора.

Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.

Тема XII. Раздел 5 «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

(лекции –14 часов, семинары – 14 часов, самостоятельная работа – 40 часов)

Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение (ДУ), порядок, решение, интегральная кривая. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности (формулировка). Общее и частное решение. ДУ первого порядка интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

ДУ первого порядка: однородное, приводящиеся к однородному, линейное, уравнение Бернулли, в полных дифференциалах.

ДУ высших порядков. Задача Коши. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.

Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Определитель Вронского для решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения уравнений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка. Интегрирование линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных.

Нахождение частных решений неоднородных уравнений с правыми частями специального вида.

Для данного курса используются классические образовательные технологии, возможно использование информационных технологий для решения заданий в процессе самостоятельной работы студентов (СКМ Mathcad, Maple).

Дата добавления: 2015-04-25