Частотные характеристики систем радиоавтоматики 4 страница

- линейная характеристика, имеющая те же математическое ожидание и дисперсию, которые имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой . С этой целью представим в виде:

, где - центрированная случайная функция.

Выберем коэффициенты и такими, чтобы

; , где - математические ожидания сигналов; - дисперсии сигналов.

Из предыдущих выражений следует, что статистическая равноценность имеет место, если

, , причём знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики

Величины называют коэффициентами статистической линеаризации,

- математическое ожидание сигнала на выходе нелинейного звена,

- дисперсия сигнала на выходе нелинейного звена,

- плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.

Рассмотренный метод статистической линеаризации не всегда является наилучшим, поэтому целесообразно статистическую линеаризацию выполнить из условия наилучшего приближения корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного звена к корреляционной функции на выходе линейного звена:

Найдём производные по и и приравняем их к нулю. Получим:

Отсюда следует, что ;

Представляется возможным сделать вывод, что статистическая линеаризация из условия минимума дисперсии ошибки даёт то же значение коэффициента , которое было найдено при первом способе линеаризации; коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей имеет другое значение. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение: Отличие статистической линеаризации от обычной заключается в зависимости коэффициентов статистической линеаризации от математического ожидания и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена.

Метод моделирования основан на использовании для анализа нелинейных систем радиоавтоматики различных вычислительных машин. Этот метод не накладывает ограничений на порядок исследуемых систем и позволяет оценить качество систем при большом наборе начальных условий и различных видах входных сигналов и помех.

8.5 Полоса удержания и захвата

Зависимость расстройки промежуточной частоты от величины отклонения частоты входного сигнала изображена на рисунке 8.2.:

Рис.8.2. Полоса удержания и захвата

Если , то .

С увеличением отклонения расстройка промежуточной частоты сигнала возрастает. Когда превысит значение, соответствующее точке А, система скачком перейдёт в новое устойчивое состояние, изображаемое точкой Б. Подстраивающее действие системы при этом практически прекращается, и величины и становятся примерно равными. Если теперь уменьшать значение частоты сигнала, то подстраивающее действие системы восстановится, когда отклонение станет меньше значения, соответствующего точке B, и система перейдёт в состояние, изображенное точкой Г. При отрицательных значениях в системе возникают аналогичные процессы.

Область частот, лежащая между абсциссами точек А и A^/, называется полосой удержания. Область частот, лежащая между абсциссами точек Г и Г^/, называется полосой захвата системы. Величины этих полос являются важными параметрами, учитываемыми при проектировании систем частотной автоподстройки.

Полоса захвата определяет диапазон первоначальных расстроек частоты сигнала, в пределах которого при включении системы обеспечивается переход к режиму слежения.

Полоса удержания определяет диапазон расстроек частоты сигнала, в пределах которого при медленном изменении частоты входного сигнала режим слежения сохраняется, если система в этот режим уже была введена.

9.Математическое описание дискретных систем

9.1 Функциональная схема системы с прерывистым входным сигналом

Значительное распространение на практике получили радиотехнические следящие системы, cигнал на входе которых имеет прерывистый характер и образует последовательность импульсов с длительностью и периодом повторения . Прерывистый характер входного сигнала может быть вызван различными причинами: импульсным излучением передатчика, cканированием диаграммы направленности антенны приёмника в пространстве, переключением её с одного сопровождаемого объекта на другой и т.д.

Cуществуют различные варианты построения следящей системы при наличии прерываний входного сигнала. Один из них показан на рис. 9.1.

Рис.9.1. Функциональная схема дискретной системы

В данной схеме приняты следующие обозначения: ГОС – генератор опорных сигналов, Дис – дискриминатор, Ф – фильтр.

Ключ коммутируется синхронно с появлением сигнала. Он замкнут во время действия импульса сигнала и разомкнут на время пауз. Так как во время пауз информация о величине ошибки слежения дискриминатором не извлекается, размыкание ключа Кл на это время препятствует попаданию на вход фильтра флюктуационного напряжения с выхода дискриминатора и повышает тем самым точность слежения.

Для математического описания преобразования непрерывного сигнала в дискретный удобна следующая математическая модель сигнала:

(9.1)

Использование дельта-функции безразмерного аргумента связано с тем, что размерность сигнала должна совпадать с размерностью . Так как по правилу изменения масштаба аргумента дельта-функция , то из (9.1) следует:

. (9.2)

Множитель нужно учитывать при предельных переходах . Во всех остальных случаях его можно опускать и модель сигнала принимать в виде:

. (9.3)

Cигнал называют мгновенными импульсами или обобщённым дискретным сигналом.

9.2 Математический аппарат Z-преобразования

На математическом аппарате - преобразования строится современная теория дискретных систем радиоавтоматики.

Подвергнем (9.3) преобразованию Лапласа:

(9.4)

Функцию называют дискретной.

Обозначим: . Тогда:

Функцию называют Z-преобразованием сигнала .

9.2.1.Cвойства Z-преобразования

1.Свойство линейности.

Если , , то

.

2. Первая теорема смещения.

Если , то для целых .

3. Вторая теорема смещения.

Если , то для целых

.

4. Свёртка функций.

Если , то

5. Предельные значения.

Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путём следующего предельного перехода:

,

- формула для начального значения сигнала.

6. Формула обращения.

Дискретные значения функции по её Z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

- формула обращения.

7. Z- преобразование изображённого по Лапласу процесса совпадает с Z-преобразованием самого процесса, т.е.

.

8. Если сигнал запаздывает на время , то последовательность мгновенных импульсов имеет вид:

.

При этом Z- преобразование вычисляется по формуле:

9.3 Передаточные функции дискретных систем

9.3.1.Пример дискретной системы

Использование Z-преобразования для анализа дискретных систем во многом аналогично использованию преобразования Лапласа при анализе непрерывных систем. Необходимым этапом такого анализа является нахождение передаточной функции дискретной системы, которая определяется как отношение Z-преобразований выходного и входного процессов системы при нулевых начальных условиях в системе. Познакомимся с методикой определения передаточной функции дискретной системы на примере системы, изображённой на рис. 9.2.

Рис.9.2. Пример дискретной системы

На рисунке приведены следующие обозначения:

- дискриминационная характеристика,

- импульсный элемент,

- выходной процесс системы,

, - коэффициенты передачи звеньев.

На выходе импульсного элемента формируется напряжение:

При подаче его на вход фильтра с коэффициентом передачи на его выходе образуется процесс:

, где - импульсная переходная функция фильтра.

По теореме свёртки и равенству имеем:

,

где

- изображение импульсной переходной функции , совпадающей с Z- изображением передаточной функции , связанной с преобразованием Лапласа.

Ошибка слежения в рассматриваемой системе равна:

где

- Z-изображение процессов и ,

,

где

- z- изображение функции , являющейся передаточной функцией приведённой непрерывной части системы.

Из формул и имеем:

.

Подставив это выражение в формулу для , получим:

.

Отсюда следует, что искомая передаточная функция рассматриваемой замкнутой дискретной системы описывается соотношением:

.

При анализе ошибок слежения в тактовых точках используется передаточная функция , связывающая z- изображения воздействия и ошибки слежения .

Так как , то .

9.3.2.Разностные уравнения

Знание передаточной функции дискретной системы позволяет описать связь между дискретными процессами на её входе и выходе с помощью разностного уравнения. Чтобы получить это уравнение, представим передаточную функцию системы в виде дробно-рациональной функции переменной :

.

Подставив это выражение в уравнение , запишем:

.

Применим теорему обращения к обеим частям этого уравнения. Используя первую теорему смещения и полагая, что при получаем:

,

где введены обозначения , .

Решив это уравнение относительно , представим его в виде:

.

Это выражение является разностным уравнением, связывающим значения выходного процесса с его значениями в предшествующих тактовых точках и значениями воздействия в моменты времени , , …, .

9.3.3.Операторные коэффициенты передачи

Разностное уравнение дискретной системы можно записать в компактной форме, если использовать операторный коэффициент передачи. Для его получения введём оператор , действие которого на временную функцию приводит к её сдвигу по времени на величину . При этом выполняются следующие соотношения:

Тогда разностное уравнение записывается в виде:

,

где

- операторный коэффициент передачи дискретной системы.

9.3.4.Комплексные коэффициенты передачи дискретной системы

Если - передаточная функция и , то .

Физический смысл комплексного коэффициента передачи дискретной системы заключается в следующем. На вход дискретной системы подаётся воздействие . Возникающий при этом в установившемся режиме выходной процесс показан сплошной линией на рис.9.3. Как видно из рисунка выходной процесс является несинусоидальным, но в точках совпадает со значениями непрерывного синусоидального процесса, имеющего частоту и комплексную амплитуду . Комплексный коэффициент передачи дискретной системы равен отношению комплексной амплитуды к комплексной амплитуде входного воздействия.

Рис.9.3. К понятию комплексного коэффициента передачи дискретной системы

9.4 Условия устойчивости дискретных САУ

9.4.1. Алгебраический критерий устойчивости дискретной САУ

Как следует из раздела 4, непрерывная система устойчива, если полюсы её передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной p. Если, учитывая равенство , представить передаточную функцию дискретной системы в виде , то условие её устойчивости формулируется аналогично: дискретная система устойчива, если полюсы её передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной .

При замене переменных левая полуплоскость переменной преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости переменной . Поэтому дискретная система устойчива, если полюсы её передаточной функции находятся внутри окружности единичного радиуса на плоскости переменной и, следовательно, удовлетворяют условиям:

Представим в виде: .

Полюсы являются корнями характеристического уравнения системы:

При удобно пользоваться алгебраическим критерием устойчивости. В соответствии с этим критерием дискретная система устойчива, если коэффициенты её характеристического уравнения удовлетворяют определённой системе неравенств.

Для уравнения первого порядка, т.е. при , эти неравенства записываются в виде:

Для уравнения второго порядка () они имеют следующий вид:

При указанная система неравенств принимает вид:

9.4.1.Частотный критерий устойчивости дискретной САУ

Замкнутая дискретная система является устойчивой, если годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы не охватывает точку на плоскости комплексной переменной . Так как комплексный коэффициент передачи дискретной системы является периодической функцией частоты, при построении годографа достаточно изменять частоту в пределах от до .

9.5 Анализ детерминированных процессов в дискретных системах

Если начальные условия в системе нулевые, то

.

Существует несколько способов нахождения процесса по его изображению . В общем случае этот переход определяется интегралом обращения (cм. свойства Z- преобразования). Для его вычисления можно использовать теорему о вычетах, в соответствии с которой:

,

где

- полюсы подынтегральной функции .

- вычет в случае простого полюса,

- вычет в полюсе -го порядка.

Если достаточно знать значение выходного процесса только в установившемся режиме, то для определения его в устойчивой следящей системе по теореме о конечном значении оригинала:

.

10. Цифровые системы автоматического управления

10.1 Общая характеристика цифровых следящих систем

Цифровыми называют следящие системы, все или часть блоков которых построены на базе цифровых вычислительных машин (ЦВМ) или в виде отдельных цифровых устройств, использующих элементы импульсной и цифровой техники. В противоположность им системы, не использующие цифровую технику, принято называть аналоговыми.

Достоинствами цифровых систем является резкое упрощение их настройки и регулировки, высокая стабильность их характеристик и параметров, высокая надёжность, удобство изменения их параметров в процессе работы, гарантированная точность получаемых результатов.

Основным недостатком, возникающим при построении цифровых систем, является то, что характерной особенностью этих систем является обработка процессов, подвергшихся дискретизации по времени и квантованию по уровню. В общем случае выполнение этих операций приводит к возрастанию ошибки слежения.

10.2 Общая структура цифровой радиотехнической системы

Цифровые системы радиоавтоматики весьма разнообразны. На рис.10.1. приведена цифровая радиотехническая следящая система, наиболее близкая к рассматривавшимся ранее аналоговым системам.

Дата добавления: 2015-04-29