Кривые распределения и их параметры

Основные параметры кривой распределения:

1) среднее арифметическое ряда;

2) характеристики рассеяния или изменчивости (дисперсия): среднее квадратичное отклонения, коэффициент вариации;

3) характеристики симметричности: среднее кубическое отклонение, коэффициент асимметрии, коэффициент скошенности.

Среднее арифметическое ряда величины Х представляет центр, относительно которого распределяются члены совокупности, определяется по формуле:

Xср. = ∑ Xi / n.

Для безразмерного ряда, т.е. для ряда модульных коэффициентов средняя арифметическая величина =1. Приведенное к длительному периоду наблюдений значение среднеарифметич. ряда гидрологические характеристики в гидрологии наз.нормой, т.е. величиной, которая практически не изменяется при увеличении ряда наблюдений. Предел, к которому приближается среднее арифметическое при достаточно большом числе наблюдений (n –> ∞) называется математическим ожиданием. Наиболее простая характеристика изменчивости статистического ряда - это амплитуда или размах варьирования:

A = Xmax - Xmin.

Или в относительном виде:

Aср. = A / Xср.

Наиболее часто используют характеристику изменчивости (рассеивания) статистического ряда относительно его средней величины - среднеквадратическое отклонение:

σx = √ (∑ (Xi – Xср.)2) / n.

Среднеквадратические отклонения имеют размерность исходного ряда наблюдений.

Гидрологические расчеты ведутся по рядам ограниченной длительности наблюдений, поэтому в практических расчетах записывают:

σx = √ (∑ (Xi – Xср.)2) / (n – 1).

Для сопоставления двух и более рядов среднеквадратическое отклонение выражают в долях от среднеарифметического значения переменной. Отношение среднеквадратического отклонения ряда к его среднеарифметическому называют коэффициентом вариации:

СV = σx / Xср. = √ (∑ (Xi – Xср.)2) / ((n – 1) * Xср.2). (5.9)

При замене в формуле (5.9) (Xi / Xср) на ki получим значение коэффициента вариации безразмерное:

СV = = √ (∑ (ki – Xср.)3) / (n – 1).

В качестве характеристики асимметричности ряда принимаем среднее значение кубов отклонения членов ряда от его среднего значения:

М3 = ∑ (Xi – Xср.)3 / (n - 1).

Когда члены ряда располагаются симметрично относительно среднего значения разные по величине положительные и отрицательные отклонения взаимно уравновешиваются и в этом случае их сумма будет = 0.Если положительное отклонение (многоводные годы) повторяется реже, чем отрицательное, то асимметрия будет положительной, в противном случае – отрицательной.

Чтобы получить безразмерное выражение для характеристики асимметричности ряда среднее значение отклонений в кубе делят на среднеквадратическое в кубе. Это отношение называется коэффициентом асимметрии.

СS = М3 / σx3 = ∑ (Xi – Xср.)3) / ((n – 1) * σx3).

Или, выражая CS через коэффициент вариации:

СS = ∑ (ki – 1)3) / ((n – 1) * CV3).

Для ограниченного ряда наблюдений (n < 50 лет) более точное значение коэффициента CS получают по формуле:

СS = (∑ (ki – 1)3) / CV3) * n / [(n - 1) * (n - 2)].

Для оценки асимметричности кривой распределения используется также коэффициент скошенности S:

S = (Xp% + X(100-p)% - 2 * X50%) / (Xp% - X(100-p)%).

XP%, X(100-p)% – ординаты кривой распределения, расположенной на равном расстоянии по оси абсцисс от точки медианы (X50%). Например, при расчетах годового стока принимают равноудалённые ординаты с обеспеченностью 5% и 95%.

Дата добавления: 2015-04-30