Моменты дифференциальной функции распределения результатов измерений

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины специальными параметрами, основными из которых являются: начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты – математическое ожидание (МО), среднее квадратическое отклонение (СКО), эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии.

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными.

Начальные моменты k-го порядка определяются формулами

где p_i – вероятность появления дискретной величины. Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам. Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание МО случайной величины (k = 1):

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k=2), дисперсия случайной величины D

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО) , которое имеет размерность самой случайной величины.

Третий центральный момент (k=3)

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии υ = μ₃ / σ³. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии приведен на рисунке а).

Четвертый центральный момент (k=4)

служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса ε = μ ₄ / σ⁴.

Его значения лежат в диапазоне от 1 до ∞. Для нормального распределения ε = 3. Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса показан на рисунке б).

Рисунок - Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях коэффициента асимметрии (а) и эксцесса (б)

Дата добавления: 2015-04-30