Общее резервирование замещением

В электроснабжении широко используется метод повышения надежности системы за счет использования резервной цепи, находящейся в ненагруженном состоянии. Последняя автоматически включается при отказе основной цепи. Опираясь на результаты, описанные в подразделе 6.1, проанализируем только вариант дублирования замещением, так как в большинстве случаев на практике оказывается достаточно одной резервной цепи (в трансформаторных подстанциях, линиях электропередачи, кабельных линиях).

Предположим, что приборы, обнаруживающие отказ основной цепи, и выключатели, отключающие отказавшую цепь и включающие резервную, также абсолютно надежны. Резервная ненагруженная цепь, находящаяся в режиме ожидания, своих характеристик не меняет и работоспособна. Каждая из цепей состоит из последовательных элементов (рис. 6.7). Поток отказов простейший.

Пусть для любого справедливо:

Поскольку справедлив экспоненциальный закон распределения, можно записать:

Таким образом, анализируемая система приобретает вид:

Рассмотрим события, которые могут произойти с системой на отрезке времени . Проанализируем возможные гипотезы.

1. Основная цепь отработала успешно все время и резервную цепь (1) включать не потребовалось. Вероятность этого режима работы системы - .

1. Основная цепь отработала только отрезок и отказала. При этом сразу же включилась резервная цепь и успешно проработала до конца времени t с вероятностью безотказной работы .

Чтобы заработал второй режим необходимо совпадение двух событий - отказ основной цепи и успешная работа включенной под нагрузку резервной цепи. Математической оценкой совпадения этих событий является произведение их вероятностей. На рис. 6.9 изображен график плотности вероятности появления отказа основной цепи . Выделим достаточно малый интервал , следующий за отрезком . Произведение . Заштрихованная площадка, численно равна вероятности отказа основной цепи на интервале . Запишем вероятность того, что отказала основная цепь, но при этом успешно вошла в работу резервная цепь и проработала до момента :

Рис. 6.10. График функции системы дублированной замещением

(- - - нагруженное дублирование)

В соответствии с формулой полной вероятности, вероятность безотказной работы анализируемой системы в течение времени определяется по выражению:

где - вероятность безотказной работы цепи "1" в течение времени t при условии, что отказ основной цепи "0" произошел в момент (на интервале ). Исходя из условия, что резервная цепь "1" до момента включения своей надежности не теряет, то есть работоспособна, а отказ основной цепи с последующим мгновенным включением резервной цепи может произойти на интервале от до :

(6.17)

Таким образом, учитывая обе гипотезы, на основе формулы полной вероятности запишем выражение вероятности безотказной работы системы

(6.18)

Рассматривая случай экспоненциального закона надёжности, запишем:

Подставим в выражение (6.18). Получим:

Таким образом,

(6.19)

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Таким образом, получаем:

(6.20)

Вычислим интенсивность отказов системы по формуле:

Сначала посчитаем, чему равна производная :

Отсюда получаем:

(6.21)

На рис. 6.10 изображен график интенсивности отказов системы, дублированный по способу замещения. Из формулы (6.21) видно, как эта функция монотонно возрастает от нуля до , т.к.

В первоначальный момент времени интенсивность отказов дублированной системы, очень низкая . Если такую дублированную систему включить на длительный срок, то выигрыш в надежности уменьшается. Это легко объясняется тем, что с увеличением времени возрастает вероятность отказа основной цепи. При ее отказе вводится в работу резервная цепь с интенсивностью отказов .

Сравнивая графики для систем нагруженного дублирования (рис. 6.5), и дублирование замещением (рис. 6.10), видим, что они похожи друг на друга: на начальном этапе работы надежность их высока. На практике важно знать, какой из схем следует отдать предпочтение. Для этого построим график, на котором изображены кривые системы при различных способах дублирования (рис. 6.11).

На интервале обе схемы, нагруженного дублирования и дублирования замещением, при одном и том же оборудовании по уровню надежности практически идентичны. В практических условиях эту разницу ощутить очень трудно. Так, если средняя наработка до отказа основной цепи годам и время рабочего цикла до планового отключения системы составляет года (один раз в квартал), то:

При этом вероятность безотказной работы схемы нагруженного дублирования , а вероятность безотказной работы схемы дублирования замещением составит .

В этих условиях выбор схемы включения системы может определить экономический фактор. К примеру, в схеме электроснабжения потребителя используется два кабеля из расчета 100%-го резерва. В начале и конце каждой цепи включены выключатели, отключающие соответствующий отказавший (пробитый) кабель с обеих сторон. При схеме нагруженного дублирования потеря мощности в кабелях составит:

где - ток потребителя;

- сопротивление цепи одного кабеля.

В схеме дублирования замещением:

То есть потери мощности в два раза больше. Таким образом, при практически одинаковом значении вероятностей безотказной работы обоих схем в пределах выбранного цикла наработки до планового отключения, вторая схема дублирования замещением экономически не выгодна.

В заключение отметим, что если возникнет необходимость оценки надежности системы, включенной по схеме общего резервирования замещением с целой кратностью, при (см. рис. 6.12), то следует пользоваться расчетными формулами:

Предположим, система имеет три резервных цепи (), . Тогда для часам:

Итак,

Надежность системы при раздельном резервировании и с целой кратностью по всем элементам

Расчетная схема надежности для этого случая изображена на рис. 6.13.

Отказ этой системы может произойти при отказе любого блока. Совпадение работоспособных состояний блоков системы гарантирует работоспособное состояние системы. Следовательно, если известны вероятности безотказной работы каждого из блоков, то вероятность безотказной работы системы выражается формулой:

(6.22)

Для расчета безотказной работы по каждому блоку воспользуемся рассуждениями из раздела про общее резервирование с постоянно нагруженным резервом. Кроме этого допустим, что каждый блок дублируется эквивалентными элементами, т.е. интенсивность потока отказов будет одинаковой у тех элементов, которые резервируют, с тем, для которого и производится резервирование. Будем вести расчёты в предположении, что для всех элементов справедлив экспоненциальный закон надёжности. Таким образом, вычислим вероятность безотказной работы для -ого блока (который дублируется с кратностью ):

Тогда вероятность безотказной работы всей системы (для случая, когда k-ый блок дублируется с кратностью равнонадёжными элементами) можно вычислить по формуле:

(6.23)

Среднее время наработки до отказа, как и всегда, находим по выражению:

При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервирования по всем блокам [13, 15] расчетные выражения оценки важнейших показателей надежности такой системы примут вид:

для всех элементов системы.

(6.24)

Дата добавления: 2015-04-30