Построени графиков вероятности безотказной работы

Берется партия элементов и ставится на испытание. Отказавшие элементы новыми не заменяются, так как в этом случае не требуется обслуживания.

В результате получается число отказов r и время работы каждого элемента t_i.

Для удобства испытаний все время разбивается о 7-20 интервалов. И для каждого интервала определенное число отказов. Тогда интенсивность отказов для каждого интервала определяется:

λ^*(ti) = n(Δti) / [N – n(ti) ] Δti

(3.1)

где

n(Δt_i) число отказов в интервале Δti

n(t_i) общие число отказов до момента времени ti

N общие число элементов поставленное на испытание

Результаты испытания заносятся в таблицу, и по результатам испытаний строится график

Интервалы Δt_i могут быть равными или различными. Обычно в области резких изменений интенсивности отказов следовательно следует брать эти интервалы малыми.

Общее число их дело опыта, но не надо брать их слишком много. имея эти данные можно определить частоту отказов.

f^*(ti) = Δri / N Δti

(3.2)

Это график представляет собой распределение плотности вероятностей безотказной работы.

Интенсивность отказов

λ^*(ti) = f^*(t)/р^*(t) =(Δri/N*Δti)/(1-ri/N)

(3.3)

На основе полученных данных строятся графики. теперь по этим графикам необходимо подобрать аналитическое выражение, закон, который с определенной величиной описывал бы с определенной величиной погрешности описывал бы полученные графики. Закон может быть любым и аналитическим зависимость. Может быть выведена любыми методами, например МНК

Но наиболее часто закон подбирают по выводу кривой уже известного закона распределения (нормального, exp, Эрланго, Релея, равномерной плотности, Стьюдента)

Задача при этом сводится к выбору какого – либо распределения. Проверка допустимости предполагает закон распределения отказов производится, используя определенные критерии согласия (Пирсона, Колмогорова и других)

Наиболее широко испытываются критерии согласия Пирсона. В этом случае проверка допустимости распределения проверяется следующим образом

Допустим, что в результате испытаний получена гистограмма и получена гипотеза о распределении отказов.

Имея такие результаты, строится таблица следующего вида.

tj	t1	t2	ti	tk
Δn^*j	Δn^*1	Δn^*2	Δn^*i	Δn^*k	k ∑= Δni^*=N i=1
Δni^*/N	Δq1^*	Δq2^*	Δqi^*	Δqk^*	k ∑= Δqi^*=1 i=1
Δqj	Δq1	Δq2	Δqi	Δqk	k ∑= Δqi~1 i=1
Δnj	Δn1	Δn2	Δni	Δnk	k ∑= Δni=N i=1
χj^2	χ1^2	χ2^2	χi ^2	χk^2	n χ^2=∑ χi^2 i=1

где

t₁,t₂,…,t_k середины соответствующих интервалов времени испытаний

Δn^*₁,… Δn^*_k число отказов в соответствующем интервале, полученных в результате испытаний

Δq_i^* = Δn^*I/N относительная частота отказов (статистический элемент вероятности отказа)

t_i

Δq_i = ∫f(t)dt

t_i-₁

t_i

Δq_i = ∫f(t)dt

Определения числа отказов по теоретическому закону

Δni = Δqi^*N

(3.4)

Затем находиться мера расхождения χ _i²

χ i^2= (Δni* - Δni)^2/Δni

(3.5)

Затем находится суммарное значение χ _i²

На следующем этапе определяется число степеней свободы – как разность между числом интервалов и числом наложенных связей.

Число наложенных связей S зависит от вида закона, определенный по требованию совпадений основных показателей распределения.

k

∑Δq_i =1

i=1

Затем налаживается ограничение на совпадение теоретических и статистических среднего для нормального значения. U равенство наработки на отказ статистического закона и математического То* = Т_о при экспоненциальном законе. Обычно накладывается 3 ограничения, при экспоненциальном - 2

Число степей свободы

r = K-S

(3.7)

где

К число разрядов

Затем по таблице χ² распределяется определенными квантили распределения χ²

Квантилем случайные величины Х называется такое значение случайных величин Х_р, для которого с вероятностью 1-р можно утверждать что полученное значение этой случайной велечены попадает в интервал от (-∞ до Х_р)

Затем определить вероятность

∞ р(χ^2 < Δ < ∞) = ∫ Kr(U)dU χ

(3.8)

где

Δ мера расхождения

χ² функция плотности распределения

(3.9)

Если Р(χ²≤Δ<∞)<0,1, то следует считать что теоретический закон распределения выработан неудачно, то есть гипотеза не подтвердилась. В противном случае следует считать, что выработанное распределение согласуется с экспериментальным и может быть принято.

Кроме рассмотренного способа могут быть использованы другие способы, при которых вид закона распределения оценивается по виду кривой вероятности безотказной работы. Этот способ требует специальной бумаги с соответствующей координатной сеткой

Пример: если при экспоненциальном законе распределения по оси х –равномерная шкала, у- водная, то в результате построения графика на бумаге – прямая линия. Аналогичный способ и при нормальном законе. Если прямая не получается то берут другое закон.

В этом случае если отсутствует таблица квантилей, может быть испытаны формула:

H = χ^2 /K-1

(3.10)

Если 0<H<r, то гипотеза принимается.

Так же может быть критерий Романовского

R = | χ^2 –r|/√2r

(3.11)

где

r число степеней свободы

Если R<3, то гипотеза принимается.

Критерий Колмогорова один из наиболее простых.

При этом критерий непосредственно на графике плотности распределения находится максимально расположения Д между теоретическим расхождением и статистическим.

И если Д^*√n≤1, где n число отказов, то гипотеза принимается

Недостаток этого метода в том, что необходимо знать параметры теоретического закона распределения.

45).Определения параметров распределения при экспоненциальном законе .

Параметр1 -интенсивность отказов или среднее время безотказной работы. По экспоненциальному закону распределены внезапные отказы. Если в результате испытаний выйдут из строя все образцы, то наработка на отказ.

r То^* = ∑ ti / r i=1

(3.12)

где

r число образцов поставленных на испытание.

При таком методе испытаний оказывается очень большим, так как надо ждать отказа всех образцов.

Поэтому обычно задается число отказов r – до испытаний, а затем определяют Т_о

В этом случае общее t исправной работы элементов.

r

Т=t₁ +t₂ ………..+t_r + t_r[N-_r) = ∑ t_i + t_r[N-_r]

i=1

где

r число отказов

tr время работы до отказа r-го элемента

Формула, для определения наработки на отказ:

r То = ∑ti +tr[N-r]/r i=1

(3.13)

Время испытаний необходимо выбирать таким чтобы не сказывались износовые отказы.

Если есть износовые отказы, это необходимо учесть

r То^*=(∑ti + tr[N-r])/r - i=1

(3.14)

где

к число износовых отказов.

Чтобы получить достоверные данные, надо иметь побольше отказов T испытаний должно быть по возможности малым, чтобы не сказывались износовые отказы. Поэтому на испытания надо оставлять много элементов

предположим t испытания равно t_n

Ожидаемая наработка на отказ Т_о, чтобы получить достаточную точность, число отказов r

Можно записать

Q(t) = 1-e^-tr/To=r/N

(3.15)

Из этого выражения определенное число элементов, которое необходимо поставить на испытания.

N = r/(1-e^tr/To)

Очень часто испытания проводятся, не фиксируя момент выхода из строя каждого образца, а только фиксируя момент отказа R устройств из N, из поставленных на испытания.

Q(t) = r/N = 1-e ^tr/T*o

To^*= tr / [LnN-Ln(N-r)]

(3.16)

λ^*(t) =[LnN-Ln(N-r)] / tr

(3.17)

Этот способ может применятся только для внезапных отказов, распределенных по экспоненциальному закону.

Дата добавления: 2015-04-30