Основные теоремы теории вероятностей

Классификация событий

ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методы теории вероятностей позволяют исследовать закономерности отказов как массовых случайных явлений. Однако они не дают возможности точно предсказать время возникновения отказ, поскольку оно представляет собой случайную величину. Кроме того, мы не можем определить точно, какой срок в состоянии проработать данное изделие, а способны лишь оценить ту вероятность, с какой оно проработает время, не меньше заданного числа t.

Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, они выражают собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт – произведение выстрела; событие – попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт – трёхкратное бросание монеты; событие – выпадение двух гербов);

– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт – измерение дальности; событие – ошибка измерения).

События, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т д.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Причины достоверного события очевидны и поддаются точному учету. Например, совершенно достоверным является факт работы исправного насоса, если к нему подключен исправный электромотор, к контактам которого приложено напряжение.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная – невозможным; если в сети отсутствует напряжение, то работа мотора, питающегося от этой сети, является событием невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

Т.о., отказ и отсутствие отказа – это основные случайные события, изучаемые наукой о надежности.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. А – появление красного шара при одном извлечении, В – появление белого шара, С – появление шара с номером. События А, В, С образуют полную группу совместных событий.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Например, подбрасываются две игральные кости. Событие А – выпадение трех очков на первой игральной кости, событие В – выпадение трех очков на второй кости. А и В – совместные события.

Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие А – наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие В – коробка окажется с обувью коричневого цвета, А и В – несовместные события.

Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом числе испытаний, можно установить определенные закономерности появления этого события. Если при проведении n ₁ испытаний событие А имело место т ₁раз, то относительную частоту появления события А определяют из соотношения

. (4.1)

Если событие А имело место в каждом из n ₁, испытаний, т. Е. m ₁ = n ₁, то Р^* (А) = 1. Если событие А не наступило ни в одном из n ₁, испытаний, т. Е. m ₁ = 0, то Р^* (А) = 0. При проведении серии последовательных испытаний получим соотношения:

…; .

Относительная частота становится более устойчивой при увеличении числа испытаний. Такая закономерность была замечена давно и подтверждена результатами решения различных примеров. Самыми известными примерами являются примеры бросания монеты или игральной кости. Так, при большом числе бросаний монеты относительная частота выпадения герба равна 1/2 и равна относительной частоте выпадения цифры. При большом числе бросаний игральной кости относительная частота выпадения каждой стороны, на которой изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.

Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина (в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота свершения случайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается относительная частота случайного события, называют вероятностью случайного события А и обозначают символом Р (А).

Вероятность характеризует событие по степени его возможности. Вероятность есть численной мерой степени объективной возможности данного события.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний) .

На практике при большом числе испытаний вероятность случайного события приближенно принимают равной относительной частоте этого события:

Р (А) ≈ Р^* (А).

Математическим основанием этого утверждения является закон больших чисел (Я. Бернулли) – вероятность отклонения относительной частоты некоторого события А от вероятности Р (А)этого события более чем на произвольно заданную величину ε > 0 становится сколь угодно малой, если число испытаний n неограниченно возрастает.

Таким образом, вероятность события Р (А)представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т. Е. справедливо неравенство

0 ≤ P (A) ≤ 1.(4.2)

Пример 4.1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим A событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию A лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

P { A } = 1/ 10 = 0,1.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А.

Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным – событие А, либо бракованным – событие .

Для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных.

Косвенные методы используют основные теоремы теории вероятностей: теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

При определении вероятностей приходится часто представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и опрерацию умножения событий.

4.2.1 Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А+В) = Р (А) + Р (В). (4.3)

Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произвольного числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А ₁ + А ₂ + …+ А_п) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + …+ Р (А_п).(4.4)

Более удобная запись теоремы сложения:

. (4.5)

С л е д с т в и е 1. Если события А ₁, А ₂,…, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

. (4.6)

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р () = 1. (4.7)

где — событие, противоположное событию А.

Пример 4.1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го – 0,04; 46-го и большего – 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие A) или 45-го (событие B), или не меньше 46-го (событие C), т. Е. событие D есть сумма событий A, B, C. События A, B, и C несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

Пример 4.2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» противоположные. Поэтому по формуле (4.7) вероятность наступления искомого события

поскольку P { D } = 0,17, как это было найдено в примере 8.1.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В выражается формулой

Р (А+В) =Р (А) +Р (В) – Р (АВ). (4.8)

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется выражением

Р (А +В + C) = Р (А) +Р (В) + Р (С) – Р (АВ) – Р (АС) – Р (ВС) +Р (АВС). (4.9)

Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется выражением

. (4.10)

Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:

Р (АВ) =Р (А) +Р (В) –Р (А+В);(4.11)

для произведения трех событий:

Р (АВС) =Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А +В) – Р (А +С) – Р (В+С) +Р (А +В+С). (4.12)

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. Д., имеет вид:

. (4.13)

Пример 4.3. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту с двумя зонами попадания. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,40, во вторую 0,35. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим через А – попадание, а через – промах. Тогда событие А = А ₁ + А ₂,где А ₁и А ₂ – попадания соответственно в первую и вторую зоны. Используя формулу (4.3), найдем

Р (А) = Р (А ₁) + Р (А ₂) = 0,40 + 0,35 = 0,75.

Тогда Р () = 1 – Р (А) = 1 – 0,75 = 0,25.

Пример 4.4. Техническое устройство состоит из трех элементов А ₁, А₂ и В. Элементы А ₁и А ₂дублируют друг друга. Это означает, что при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован. Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А ₁и А ₂либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде события С = А ₁ А ₂ + В, где событие А ₁является отказом элемента А ₁, А ₂ – отказом элемента А ₂и В – отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы.

Решение. В соответствии с формулой (4.8) имеем

Р (С) =Р (А ₁ А ₂) + Р (В) – Р (А ₁ А ₂ В).

Используя формулу (4.11), определим

Р (А ₁ А ₂) = Р(А ₁) + Р (А ₂) – Р (А ₁ + А₂).

Далее, применяя формулу (8.12), получим

Р (А ₁ А ₂ В) = Р(А ₁) + Р (А ₂) + Р (В) – Р (А ₁ + А₂) – Р (А ₁ + В) –

–Р (А₂ + В) + Р (А ₁ + А ₂ +В).

Подставляя полученные выражения и сокращая, находим

Р (С) = P (А ₁ + В) + Р (А₂ + В) – Р (А ₁ + А ₂ +В).

4.2.2 Теорема умножения вероятностей. События могут быть независимыми и зависимыми.

Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример 4.5. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом рассматривают следующие события: событие А – появление герба на первой монете и событие В – появление герба на второй монете.

В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, следовательно, событие А независимо от события В.

Пример 4.6. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события: событие А – появление белого шара у первого человека и событие В – появление белого шара у второго человека.

Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В,называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А | В).

Для условий примера Р (А)= 2/3, Р (А | В)= 1/2.

Пример 4.7. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а – извлечение нового.

Тогда P { A } = 2/5, P { } = 1 – 2/5 = 3/5.

Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

P { B | A } = 1/4, P { B | } =2/4 = 1/2.

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т. Е.

Р (АВ) = Р (А) Р (В | А).(4.14)

Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий – А или В – считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:

Р (АВ) = Р (В) Р (А | В)

Два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимых событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при условии, что все предыдущие имели место:

P (A ₁ A ₂ …A_n) = P (A ₁) P (A ₂ /A ₁) P (A ₃ /A ₁ A ₂) …P (A_n/A ₁ A ₂ …A_{n – 1}).(4.15)

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

P (A ₁ A ₂ …A_n) = P (A ₁) P (A ₂) …P (A_n), (4.16)

т. Е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Применяя знак произведения, теорему можно записать так:

. (4.17)

Пример 4.8. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответственно равна P ₁(t) = 0,95; P ₂(t) = 0,99; P ₃(t) = 0,98; P ₄(t) = 0,90; P ₅ (t) = 0,93.Найти надежность устройства за время работы t.

Решение. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого – пятого приборов: А ₁ – А ₅.

Имеем: А = А ₁ А₂А₃А₄А₅.

По формуле умножения для независимых событий (4.26) получим:

Р(А)=Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃) Р(А₄) Р(А ₅)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.

Пример 4.9. Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом – третьем выстрелах соответственно равна: Р ₁= 0,8; Р₂ = 0,6; Р₃ = 0,3; Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение. Рассмотрим событие В –хотя бы одно попадание в мишень. Представим событие В в виде суммы несовместных вариантов:

B=A ₁ A₂A₃ + A ₁ A₂A₃ + A ₁ A₂A ₃ + A ₁ A₂A ₃ + A ₁ A₂A₃ + A ₁ A₂A₃ + A ₁ A₂A₃,

где A ₁, A₂, A₃ –попадания при первом – третьем выстрелах; A ₁, A₂, A₃ –промах при первом –третьем выстрелах.

Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем используем теорему сложения:

Р(В) = Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) + Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) + Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃)+

+Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) +Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) + Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃) + Р (А ₁) Р (А ₂) Р (А ₃)=

= 0,8·0,6·0,3 + 0,8·0,6· (1 – 0,3) + 0,8· (1 – 0,6) ·0,3 +

+ (1 – 0,8) ·0,6·03 + 0,8· (1 – 0,6) · (1 – 0,3) + (1 – 0,8) ·0,6· (1 – 0,3) +

+(1 – 0,8) · (1 – 0,6) ·0,3 = 0,946.

Пример4.10. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике – 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие A), P { A } = 8/10 = 4/5. Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие B), P { B } = 7/10. Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие C), P { C } = 9/10. Так как события A, B и C независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

Пример 4.11. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а — извлечение нового. Тогда P { A } = 2/5, P { } = 1 – 2/5 = 3/5. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

P { B | A } = 1/4, P { B | } =2/4 = 1/2.

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.

Пример 4.12. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором – черный (событие B) и при третьем – синий (событие C).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании P { A } = 5/12. Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. Е. условная вероятность P { B | A } = 4/11. Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором – черный, P { C | AB } = 3/10. Искомая вероятность

4.2.3. Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н ₁, Н ₂, …, Н_n,образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами. В этом случае

, (4.18)

т. Е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формулу (4.18) называют формулой полной вероятности, что можно доказать следующим образом.

Гипотезы Н ₁ ,Н ₂ ,…,Н_n образующих полную группу, поэтому событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т. Е.

А = Н ₁ А + Н₂А +…+ Н_nА.

Так как гипотезы Н ₁, Н ₂, …, Н_n несовместны, то и комбинации Н ₁ А + Н₂А +…+ Н_nА также несовместны. Применяя теорему сложения, получим для этих гипотез:

.

Применяя к событию НА теорему умножения, получим

,

что и требовалось доказать.

Пример 4.13. По движущемуся танку производят три выстрела из артиллерийского орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором – 0,7; при третьем – 0,8. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании танк выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях – с вероятностью 0,9. Определить вероятность того, что в результате трех выстрелов танк выйдет из строя.

Решeние. Рассмотрим четыре гипотезы: Н ₀ – в танк не попало ни одного снаряда. Н ₁ – в танк попал один снаряд, Н₂ – в танк попало два снаряда и Н ₃ – в танк попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

Р (Н ₀) = 0,5·0,3·0,2 = 0,03;

Р (Н ₁) = 0,5·0,3·0,2 + 0,5·0,7·0,2 + 0,5·0,3·0,8 = 0,22;

Р (Н ₂) = 0,5·0,7·0,2 + 0,5·0,3·0,8 + 0,5·0,7·0,8 = 0,47;

Р (Н ₃) = 0,5·0,7·0,8 = 0,28.

Условные вероятности события А (выход из строя танка) при этих гипотезах равны:

Р (А/Н ₀) = 0; Р (А/Н ₁)= 03; Р (А/Н ₂) = 0,9; Р (А/Н ₃) = 1,0. Применяя формулу полной вероятности, получим

Р (А) = Р (Н ₀)· Р (А/Н ₀) + Р (Н ₁)· Р (А/Н ₁) + Р (Н ₂)· Р (А/Н₂) + Р (Н ₃)· Р (А/Н₃) =

= 0,03·0 + 0,22·0,3 + 0,47·0,9 + 0,28·1,0 = 0,769.

Пример 4.14. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим A событие, означающее годность собранного узла; B ₁, B ₂ и B ₃ — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

Искомая вероятность

Дата добавления: 2015-04-30