Расчет надежности с использованием математического аппарата теории вероятностей

Выше уже отмечалось, что события и величины, исследуемые в теории и практике надежности, имеют, как правило, случайный характер. Естественна поэтому тесная связь теории вероятностей и теории надежности. Специалисты по теории вероятностей используют различные области исследования надежности для развития теории вероятностей. Очень часто их работы направлены на решение инженерных задач надежности, в том числе расчетов надежности. Приведем некоторые из положений теории вероятностей, которые могут быть непосредственно использованы для решения задач, возникающих в прикладной теории надежности.

Определение номинальной технической эффективности системы массового обслуживания. Система массового обслуживания (СМО) — система, состоящая из некоторого числа (одного и более) каналов обслуживания заявок. На вход такой системы поступает поток заявок с интенсивностью l_з (средним числом заявок в единицу времени). Производительность работы канала определяется интенсивностью выполнения заявки m_з. Рассмотренные выше уравнения Колмогорова (3.41) позволяют определить вероятности каждого из возможных состояний СМО.

Показателями технической эффективности СМО являются:

1) вероятность того, что заявка, пришедшая в СМО, будет выполнена, — относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуживания заявок) А_о;

2) вероятность того, что заявка, пришедшая в СМО, не будет выполнена (вероятность отказового состояния), Q_отк;

3) абсолютная пропускная способность системы А_a = А_оl_з — среднее число заявок, обслуженных в единицу времени;

4) среднее число занятых каналов ;

5) среднее число заявок, находящихся в системе, , (где r_оч — число заявок в очереди);

6) среднее время пребывания заявки в системе t_с = L_с/l_з.

Существуют СМО с очередью и без очереди, одноканальные и многоканальные, марковские и немарковские, однофазные и многофазные, с приоритетами и без приоритетов. Исследованию всех видов СМО посвящена специальная литература.

Основы методики определения номинальной технической эффективности можно представить на элементарном примере одноканальной СМО без очереди, с простейшим потоком заявок на входе, интенсивность которого з, и простейшим потоком обслуживания, интенсивность которого а (рис. 4.5, а). Вероятность нулевого состояния такой системы в соответствии с графом состояний, изображенным на рис. 4.5, б,

Рис.4.5. Схема одноканальной системы массового обслуживания с безотказным каналом

Р(S_o)=А_о=1/(1+l_з/m_з)=m_з/(l_з+m_з). (4.6)

Вероятность отказового состояния

Q_отк=Р(S₁)=Р(S₀)l_з/m_з=l_з/(l_з+m_з).(4.7)

Абсолютная пропускная способность системы

А_а=А₀l_з.(4.8)

Пример. Определить показатели номинальной технической эффективности одноканальной марковской системы с интенсивностью заявок l_з = 3 и интенсивностью выполнения заявки m_з = 4.

Система уравнений, определяющая состояния СМО,

0 = - l_зP(S₀) + m_зP(S₁);

О = l_зР(So) - m_зР(S₁);

P(S₀)+P(S) = 1.

Вероятности состояний Р(So) = 1/(1+ l_з/m_з) =0,571; P(S₁) =0,429.

Вероятность отказа системы Q_oтк=P(S₁) = 0,429.

Относительная пропускная способность системы A₀ = P(S₀) = 1 - Q_отк = 0,571.

Абсолютная пропускная способность системы A_а = l_зA₀ = 1,713.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием, = 0,427.

Среднее число заявок, находящихся в системе, L_c = =0,427.

Среднее время пребывания заявки в системе t_с = L_с/l_з = 0,142 ед. вр.

Этот пример заслуживает, чтобы на него было обращено особое внимание. Принято думать, что если изделие неспособно выполнить требуемые функции, то это означает, что в нем что-то сломалось. Изделие необходимо ремонтировать, восстанавливать. В рассматриваемом примере в изделии ничего не сломалось, ничего не испортилось, а изделие отказывает в выполнении заданных функций. Средняя доля обслуженных заявок составляет всего 0,571. Из трех заявок в среднем выполняется всего 1,71 заявки. Это вызвано не отказами канала, а организацией рабочего процесса (соотношением между интенсивностью заявок и интенсивностью выполнения их, а также числом обслуживающих каналов и отсутствием очереди).

Поэтому на организацию рабочих процессов систем массового обслуживания, вычислительных систем, систем передачи данных и в целом АСУ, а не только на безотказность элементов, входящих в эти системы, следует обращать серьезное внимание.

Определение реальной технической эффективности системы массового обслуживания. В реальных системах массового обслуживания (СМО) каналы могут выходить из строя на некоторое время вследствие отказа, что приводит к снижению эффективности. Введем допущение, что канал одноканальной СМО отказывает при работе с интенсивностью l_к, восстанавливается — с интенсивностью mк. Для этого случая граф состояний системы изображен на рис. 4.8, а, где состояние So— канал исправен и свободен; состояние S —канал исправен, но за- нят; состояние S — канал в отказовом состоянии.

Рис. 4.6. Граф состояний одноканальной системы массового обслуживания с отказами канала

Система уравнений, определяющих вероятности состояний системы, записывается следующим образом:

Вероятности состояний системы:

P(S₀) = 1/[1 + l_з/m_з + l_зl_k/(m_зm_k)];

P(S₁) = P(S₀) l_з/m_з;

P(S ) = P(S₀) l_зl_k/(m_зm_k).

Вероятность отказа системы

Q_отк = P(S₁) + P(S ).

Вероятность выполнения заявки

A₀ = 1 - Q_отк = P(S₀)

Пример. Определить реальную техническую эффективность и коэффициент изменения эффективности одноканальной марковской СМО с интенсивностью заявок l_з=3, интенсивностью выполнения заявки m_з=4, интенсивностью отказов канала l_к=0,1, интенсивностью восстановления канала m_к=1.

Вероятность отсутствия отказа (реальная)

A_0р = P(S₀) = m_зm_k/(m_зm_k + m_kl_з + l_зl_k) = 0,548.

Абсолютная пропускная способность системы (реальная) A_ap = A_op = 1,644,. Коэффициент изменения эффективности системы K_эфф = A_р/A_н = 0,96.

Показатели технической эффективности могут быть получены по упрощенным формулам с достаточным для практики приближением. Например, граф, изображенный на рис. 4.8, а, может быть заменен графом, изображенным на рис. 4.8, б, где So — состояние системы, при котором канал исправен и свободен; S₁—состояние, при котором канал будет в отказовом состоянии либо потому, что он занят выполнением заявки, либо потому, что он отказал; m_пр= m₃К_г—приведенное значение m.

Пример. Определить реальную техническую эффективность по упрощенным формулам, когда l₃=3; l_к=0,1; m_з=4; m_к=1. Коэффициент готовности канала К_г=0,91. Приведенное значение интенсивности выполнения заявки m_пр=3,64. Вероятность нулевого состояния системы Р(So) = 0,548. Показатель реальной эффективности A_р= 1,644. Коэффициент изменения эффективности К_эфф=0,96.

Определение показателей технической эффективности АСУ и ее частей. Для определения показателей технической эффективности АСУ может быть использована методика, рекомендуемая для определения эффективности систем массового обслуживания, так как часто АСУ представляет собой систему массового обслуживания. Но это не единственно возможное решение. Существует большое число работ, в которых изложены рекомендации по определению показателей технической эффективности конкретных систем.

В общем виде последовательность определения технической эффективности АСУ может быть представлена следующим образом.

Исходя из назначения системы выбирается показатель ее эффективности. Таким показателем может быть производительность системы при выполнении заданной функции в заданных условиях. Основная функция может расчленяться на ряд частных функций, выполнением которых обеспечивается основная функция. Например, для АСУ по управлению водоснабжением крупного города, работой скорой помощи, подвижными милицейскими группами и для подобных АСУ основная функция управления может быть расчленена на следующие частные функции: 1) передача и прием заявок на центральный пункт управления; 2) обработка заявок и выдача распоряжений исполнителям; 3)выполнение заявок и анализ результатов.

Если в качестве показателя технической эффективности выбрана производительность системы, тогда затраты времени на выполнение перечисленных функций определяют техническую эффективность системы. В свою очередь, затраты времени на выполнение каждой из частных функций складываются из затрат времени на работу технических средств, используемых для выполнения этих функций.

Выше были рассмотрены примеры определения эффективности для случая, когда технические средства — средства СМО.

Для вычислительных комплексов рекомендуется [15] суммарные затраты времени определять по формуле

T_S=T_вв+T_реш+Т_обм+T_выв+T_к+T_пр,(4.9)

где T_вв—время на ввод программы и исходных данных; T_реш—время на решение задачи; T_обм- время на обмен информацией между блоками комплекса; T_вып—время на вывод данных из вычислительного комплекса; T_к—время на контроль; T_пр—время простоя комплекса, вызванное отказами и сбоями.

Для сетей передачи сообщений суммарные затраты времени на передачу сообщения рекомендуется определять по формуле [16]

,

где С_ij - пропускная способность ребра графа передачи данных; l_ij —длина ребра графа передачи данных.

Полученное на основании измерений эффективности значение коэффициента изменения эффективности К_эфф только тогда может иметь смысл и может быть использовано для характеристики надежности системы, если оно сопровождается подробным объяснением, при каких условиях и предположениях оно получено.

Определение наработки системы на отказ. Использование системы уравнений Колмогорова. Система дифференциальных уравнений Колмогорова может быть использована для определения наработки системы на отказ, которая является суммой времени нахождения системы в работоспособных состояниях. Предлагаемую методику рассмотрим на примере системы, изображенной на рис. 3.7, а. Системой дифференциальных уравнений для этой системы является (3.42в).

Исключим из системы уравнений все неработоспособные состояния в данном случае P₂(t)]:

(4.10)

К системе (4.10) применим преобразования Лапласа:

Введем допущения: z=0; Ро(t)при t=о=1; P1(t)приt=o=0. Тогда

Решая систему,получим

Если o1 =2 12=2 0,. Тогда To (0) = Средняя наработка системы на отказ

Дата добавления: 2015-04-30