ОМСК, 2006 4 страница

Выберем точки 1, 2, 3 на начальном участке кривой. Проведем определение первой и второй производных в точке 2. Первая производная в точке 2 может быть определена проведением касательной и определением tg a (рис. 4.6). Можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19).

Приближенное значение первой производной на участке 1-2:

(4.33)

значение производной на интервале 2-3:

(4.34)

Значение производной в точке 2:

(4.35)

Вычислим значение второй производной в точке 2:

(4.36)

Проведем вычисление производных при меньшем шаге (D х = 30), сохранив неподвижную точку 2.

(4.37)

(4.38)

(4.39)

Как видно из приведенных результатов погрешность определения первой и особенно второй производных зависит от шага интерполирования D х.

Все данные, необходимые для расчета параметров аппроксимирующего уравнения сведены в таблице 4.2

Таблица 4.2

№№ точек	xi	yi	∆x	y'	y''	Вычисление значения h1
				+1,15	-0,003	355,6 ≈ 356
				+1,083	-0,004	375,8 ≈ 376

Определяем параметры первого слагаемого уравнения (4.32) по формуле (4.22)

(4.40)

(4.41)

Разность значений h₁ по формулам (4.40) и (4.41) составляет 6,6%. Это обязывает осторожно подходить к вычислениям производных по экспериментальным графикам и проводить систематическую проверку полученных значений. Примем в качестве первого приближения h₁ = 376. С учетом данных (табл. 4.2) определяем

(4.42)

Для проверки вычислим значение a ₁ по формуле (3.48)

(4.43)

Вычислим a ₁ по формуле (4.43) несколько отличается от (4.42), т.к. значение a ₁ = 0,81 – это значение в точке 2, а значение a ₁ = 0,88 – это значение на интервале 1 - 2.

Вычислим значение параметра

(4.44)

Следовательно, первое слагаемое в уравнении (4.32) будет иметь вид

(4.45)

Для проверки правильности аппроксимации вычислим ряд значений по уравнению (4.45), задаваясь значениями х. Результаты расчета приведены в табл. 4.3

Таблица 4.3

xi	A = 0,81 lg xi	N = antilg A	μN	e^-μN	1-e^-μN	y1 (x)
	0,81	6,457	0,1185	0,8929	0,1071	40,26
	1,3762	23,77	0,4326	0,6505	0,3495	131,41
	1,62	41,69	0,7583	0,4677	0,5323	200,14
	1,7626	57,87	1,0532	0,3504	0,6496	244,24
	1,8638	73,08	1,3300	0,2725	0,7275	273,54
	2,1077	128,1	2,3314	0,1003	0,8997	338,29
	2,2503	178,1	3,2414	0,0389	0,9611	361,37
	2,48	269,2	4,8994	0,0074	0,9926	373,21

Анализ данных (табл.4.3) показывает, что кривая, построенная по этим значениям, начиная с х = 100 и почти до х = 700, пройдет выше экспериментальной.

Просчитаем еще один вариант при h₁ = 356; α @ 0,84, μ @ 0,0172.

Уравнение первого слагаемого

(4.46)

Результаты расчетов по формуле (4.46) приведены в табл. 4.4

Таблица 4.4

xi
yi(xi)	40,26	131,26	199,21	243,15	272,4	330,9	347,2	354,79

Данные табл. 4.4 нанесены на рис. 4.5 крестиками. Совпадение лучше, чем в первом случае, но при необходимости можно привести дальнейшие уточнения.

Перейдем к аппроксимированию второго слагаемого уравнения (4.32). Для этого около второй точки перегиба выбираем наугад 3-4 точки с одинаковым шагом друг от друга (рис.4.6, точки 4, 5, 6, 7).

Сведем в табл.4.5 основные данные. Определим значение первой производной в точке 6. Для этого вычислим величину у¢ на интервале (5, 6).

Таблица 4.5

№№ точек	xi	yi	∆x	y'	y''	Вычисление значения h2
				1,1	0,003

Значение производной на интервале 6-7:

Значение производной в точке 6:

(4.47)

Для проверки проведем в точке 6 касательную и определим tg a = 1,03. Значение 1,1 и 1,03 близки между собой.

Вычислим вторую производную в точке 6:

(4.48)

Тогда по формуле (4.27)

(4.49)

Вычислим

(4.50)

Вычислим

(4.51)

Искомое слагаемое будет иметь вид

(4.52)

Суммарное аппроксимирующее уравнение запишется следующим образом:

+

+ (4.53)

Таблица 4.6

xi	A = 0,81 lg xi	N = antilg A	μN	e^-μN	1-e^-μN	y1 (x)	y1 (x) + y2 (x)
	19,44	0,2754 10^19	0,3100 10^-10				199,2
	25,2920	0,1959 10^25	0,2205 10^-4				330,8
	27,0036	0,1008 10^27	0,1135 10^-2	0,999	0,001	0,457	347,6
	29,16	0,1445 10^29	0,1627	0,8521	0,1479	67,59	422,4
	29,366	0,2323 10^29	0,2615	0,7711	0,2289	104,60	460,6
	29,5623	0,3651 10^29	0,411	0,6637	0,3363	153,68	509,7
	29,750	0,5623 10^29	0,6330	0,5326	0,4674	213,6	569,6

Проверим вычисление, для чего составим табл. 4.6, в которую будем последовательно записывать операции вычисления по уравнению (4.52).

Результаты расчета табл. 4.6 приведены на рис. 4.7. кривая рис. 4.7 б – второе слагаемое этого уравнения.

На рис. 4.7а приведена экспериментальная кривая с нанесенными результатами проверочного расчета по табл.4.4 и 4.6, первые помечены крестиком, вторые - кружочками. Визуальный анализ показывает, что даже один цикл вычислений по рекомендуемым формулам, обеспечивает удовлетворительное совпадения эксперимента с результатами аппроксимации.

При необходимости точность полученных результатов можно повысить. Для этого следует пользоваться следующими соображениями.

1. Уточнить значение первой и второй производных, пользуясь уменьшенным шагом интерполирования D х или другими известными методами.

2. Помнить, что увеличение параметра a “поднимает” кривую вверх от оси абсцисс и наоборот. Аналогичное действие производит и увеличение параметра h.

3. Изменение параметра m в сторону увеличения смещает кривую влево, к началу координат, и наоборот.

Изложенные соображения позволяют быстро произвести уточнение результатов аппроксимации после первого цикла вычислений.

Если принято решение об изменении величины одного из параметров, то соответствующим образом должны быть поправлены и другие параметры. Исключение составляют только параметр h. Он не зависит от a и m, а зависит только от значений функции в выбранных точках и её производных.

Рис. 4.7

4.5 Некоторые приемы определения горизонтальной асимптоты

Как уже отмечалось, наибольшей трудностью при аппроксимировании экспериментальных кривых трансцендентными уравнениями возникают при определении ординаты асимптоты h, погрешность которой является доминирующей при оценке точности. Отмечалось также, что данный вопрос в своевременной прикладной математики разработан слабо. Рассмотрим некоторые приемы, позволяющие создать подходящую методику нахождения асимптоты h.

За основу примем уравнение

(4.54)

Оно применимо для всех ранее рассмотренных случаев. Учитывая, что параметры m и a на положение ординаты h не влияют, приём a = 1.

Тогда

(4.55)

Первая производная уравнения (4.55)

(4.56)

откуда

(4.57)

Уравнение (4.55) преобразуем к виду.

(4.58)

Подставим выражение (4.58) в уравнение (4.57)

(4.59)

Преобразуем (4.59) к виду

(4.60)

Найдем значение функции и её производной в точках, которые определяются из графика. Для двух соседних точек на графике i и (i +1) совместное уравнение можно записать в виде

(4.61)

Решим уравнение (4.61) относительно h.

(4.62)

Таким образом ордината асимптоты h выражены через значение функции в двух соседних точках и её производных в этих же точках. Напомним, что значение первой производной в точках i и (i +1)

(4.63)

где b_i и b_i+1 - углы касательной в данных точках.

По аналогии был проведен анализ второго слагаемого уравнения (4.4) и получен следующий результат

(4.64)

Однако попытка практического использования не принесла успеха, т.к. по этой функции всегда очень мало экспериментальных результатов и их значения ограничены, как правило, первым участком наибольшей кривизны. Изделия нельзя подвергать дальнейшему испытанию из-за высокой опасности отказа. А формула (4.64) может дать успешный результат функции и её производной в пределах до и после второго участка наибольшей кривизны. Рассмотрим ряд примеров. Определим значение h для кривой (рис. 3.3).

Данные расчеты по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.7

Таблица 4.7

№№ точек	yi	βi°	tg βi	yi/y’i+ 1		1 – (yi/y’i+ 1)	yi-A	hi
	0,23		2,7474	1,5862	0,5234	-0,5862	-0,2934	0,5085
	0,33		1,7320	2,0641	0,8875	-1,0641	-0,5575	0,5239
	0,43		0,8391	3,3658	1,8512	-2,3658	-1,4212	0,6007
	0,55		0,2493	2,8491	1,7664	-1,8441	-1,2164	0,6578
	0,62		0,0875

По мере чередования точек и приближения к асимптоте значения всё более приближались к определенному из графика h = 0,64. Значения h = 0,66 хорошо совпадают с определенными из графика.

Определенным значениям h по данным (рис. 4.3.) данные измерения и расчеты по уравнению (4.62) приведены в табл. 4.8

Таблица 4.8

№№ точек	yi	βi°	tg βi	yi/y’i+ 1		1 – (yi/y’i+ 1)	yi-A	hi
	0,14		1,4281	1,1983	0,2756	-0,1983	-0,1356	0,6838
	0,23		1,1917	2,5556	0,7922	-1,5556	-0,5626	0,3616
	0,31		0,4663	1,2813	0,4761	-0,2813	-0,1641	0,5883
	0,37		0,3639	1,0	0,44
	0,44		0,3639	1,0	0,57
	0,57		0,3639	1,0	0,72
	0,72		0,3639

Как видно из табл. 4.8 и графика, на кривой большой линейный участок, для которого угол наклона касательных совпадает с самой прямой. Поэтому для пар точек, начиная с 4^-ой, знаменатель уравнения (4.62) будет равен нулю, и решения нет, но последняя пара точек 3 и 4 дает значение h = 0,5833. Визуально из графика было принято h = 0,58. Совпадение очень хорошее. Кстати, наличие большого прямолинейного участка свидетельствует о заметном действии второго слагаемого детерминированного закона старения (в данном случае - износа).

Рассмотрим первое слагаемое, описывающее кривую (рис.4.5). Данные по обработке результатов аппроксимирования по параметру h приведены в табл.4.9. Расчет осуществляется по формуле (4.62)

Таблица 4.9

№№ точек	yi	βi°	y'i = = tg βi	yi/y’i+ 1		1 – (yi/y’i+ 1)	yi-A	hi
			2,1445	2,1445	428,9	-1,1445	-298,9	260,9
			1,0	2,1445	514,7	-1,1445	-314,7	275,0
			0,4663	1,2146	303,6	-0,2146	-63,6	296,4
			0,3839	1,2558	339,0	-0,2558	-89,0	347,9
4а			0,30573	1,4379	445,7	-0,4379	-175,7	401,23
			0,2126	1,0				-
			0,2126	1,0				-
			0,2126

Как известно (табл. 4.2), значение h получено двояко: при шаге между точками ∆ x = 50, h ₁ =356, при шаге ∆ x = 30, h ₁ = 373. Оба эти значения c данными табл. 4.9 не совпали. Но если взять средние значения из двух последних результатов, то они будут более близкими. Из табл. 4.9 h_cp = 374,6; из табл. 4.2 h_cp = 366; разность составляет 2,5%. Отмеченное расхождение лишний раз свидетельствует о возможных ошибках при вычислении h ₁.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Энциклопедический словарь. М.; Сов. экцикл., 1952.

2. Кушнер В. С., Распутин Ю. П. Теория эксперимента. Новосибирск; Омск, 1976.

3. Политехнический словарь. М.: Сов. энцикл., 1977.

4. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965.

5. Шор Я. Б., Кузьмин Ф. В. Таблицы для анализа и контроля надеж­ности. М.: Сов. радио, 1968.

6. Наумов В. А., Ефремов В. В., Чурсин А. А. Теория и практические вопросы работоспособности элементов машин приборов и аппаратуры. Иркутск: Изд. ИрГУ, 1984.

7. Кандаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1976.

8. Еремин А. Н. Физическая сущность процессов при резании метал­лов. M.: Машгиз, 1951.

9. Зайденберг А. П. Павлович И. П. Законы распределения случайных величин/ ОМИИТ. Омск, I975.

10.Щиголев Б. М. Математическая обработка результатов наблюдений. М.: Физматгиз, 1960.

11.Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

12.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.:-Наука, 1970.

13.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.:Наука, 1969.

Дата добавления: 2015-04-30