Логико-вероятностный метод расчета надежности сложных систем

Классические методы расчета надежности систем

К классическим методам относятся модели надежности с последовательным, параллельным, параллельно-последовательным соединениями элементов, их различные модификации.

Модель с последовательным соединением элементов. При расчетах надежности последовательным называется такое соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всего соединения в целом. Последовательное соединение в указанном выше смысле не всегда совпадает с физическим последовательным соединением элементов. Отказы элементов предполагаются независимыми, то есть отказ любой группы элементов никак не влияет на вероятностные характеристики остальных элементов. Элемент понимается как один из самостоятельных участков последовательного соединения.

Последовательное соединение элементов

В данном случае вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле:

где Р_с – вероятность безотказной работы системы; Р_i(t) – вероятность безотказной работы i - го элемента системы

Модель с параллельным соединением элементов (рис. 2.2). При расчетах надежности параллельным (резервным) называется такое соединение элементов, при котором отказ всего соединения происходит при отказе всех элементов системы (элементы дублируют друг друга).

Параллельное соединение элементов

В этом случае показатель надежности системы P_c определяется через вероятности отказа элементов q₁, q₂, …, q_n, которые связаны с вероятностью безотказной работы соотношениями вида q_i(t) = 1 – P_i(t)

Вероятность отказа всей системы равна:

Тогда вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов q₁, q₂, …, q_n имеет вид

.

Модель с параллельно-последовательным соединением элементов. При расчетах надежности параллельно-последовательным называется такое соединение элементов, при котором можно составить структурные схемы участков как с последовательным, так и с паралелльным соединением элементов

Параллельно-последовательное соединение элементов

Для системы вначале рассчитывается вероятность безотказной работы участка 23:

P₂₃ = 1 - (1 - P₂(t))×(1 – P₃(t)),

затем – участка 123: P₁₂₃(t) = P₁(t)×P₂₃(t) = P₁(t)×(1 – (1 – P₂(t))×(1 – P₃(t))).

Итоговая расчетная формула имеет вид P_с(t) = 1 – (1 – P₁₂₃(t))×(1 – P₄(t)).

Модели несводимые к параллельно-последовательным соединениям. К данному классу относятся системы с мостовыми и еще более сложными соединениями элементов (рис. 2.4).

Пример мостового соединения элементов

Система является работоспособной, если работоспособны элементы:

Надежность систем данного класса целесообразно оценивать по логико-вероятностному методу, используя аппарат алгебры логики.

Модель с использованием марковских процессов. Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое (рис. 2.5).

При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния:

1. Работают оба элемента системы.

2. Отказ одного из элементов.

3. Отказ двух элементов.

Вероятностный граф состояний системы

Если заданы вероятности перехода системы из состояния iв состояние j b_ij, то можно определить вероятности нахождения системы в i - м состоянии P_i(t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колмогорова – Смирнова.

Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим – "+".

Таким образом, для данного примера системы имеем:

Решив систему уравнений мы определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t).

Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-м состоянии: P_c(t) = P₁(t).

Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.

События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:

1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.

2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления

которое выражено в дизъюнктивной форме, например:

,

где x_i – условие работоспособности i - го элемента Fл; X_i = 1 – работоспособное состояние, X_i = 0 – неработоспособное состояние.

3. Приведение логической функции работоспособности F_Л к ортогональной бесповторной форме F_ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.

Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D_i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D_i состоит из букв х_i, с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х₁, х₂, x₄ и х₃, x₂ равно нулю, так как одна из них содержит x₂, а другая – x₂, следовательно, они ортогональны; D₁ = x₁×x₂×x₂, где x₂ и x₂ имеют один и тот же номер, поэтому член D₁ не является бесповторным.

– ортогональная бесповторная форма;

– ортогональная, но не бесповторная форма.

Функцию F_л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F_ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:

4. Арифметизация F_ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F_ЛО определяется арифметическая функция F_a (2.3).

где A_i – арифметическая форма членов D_i функции F_ло.

Арифметизация членов D_i, в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:

5. Определение вероятности безотказной работы системы.

Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).

6. Вычисление требуемых показателей надежности системы управления по найденному показателю P_c(t):

-вероятность безотказной работы P_c(t);

-вероятность отказа Q_c(t) = 1 – P_c(t);

-интенсивность отказов

;

-средняя наработка до отказа

;

7. Анализ соответствия полученных показателей надежности заданным техническим требованиям системы.

Допущения, принимаемые при логико-вероятностном методе: для элементов системы возможны только два состояния; метод применим для невосстанавливаемых систем; отказы элементов системы должны быть независимы.

Дата добавления: 2015-04-30