Северодвинск 1 страница

К выполнению контрольных работ

Методические указания

Управление качеством, стандартизация и сертификация

для студентов заочного отделения

ЗАДАЧА № 1. Вероятностно-статистическая оценка результатов измерения размеров

Вероятностно-статистический метод оценки точности. Этот ме­тод основан на изготовлении опытной партии заготовок с замерами интересующего размера измерительным инструментом (микро­метром или другим в зависимости от требуемой точности измере­ний). Результаты замеров математически обрабатывают, после чего строят кривую распределения исследуемого размера. Для этого в полученном ряде размеров выявляют предельные значения. Разность между наибольшим и наименьшим действительными раз­мерами заготовок в данной партии D _р называют размахом рас­пределения, или полем рассеяния размеров:

D _р = l _max – l _min. (1)

Полученное значение D _р разбивают на равные интервалы и определяют частость повторения отклонений размеров в каждом интервале:

w = m / n, (2)

где m — число заготовок, действительный размер которых находится в пределах данного интервала;

n — общее число деталей в пар­тии.

Далее строят график (полигон) распределения размеров (рис. 1).

а б

Рис. 1

По оси абсцисс откладывают фактические размеры заготовок (или интер­валы размеров), а по оси ординат — частость их повторения W. Например, на графике, приведенном на рис. 1, а, общее число деталей в исследуемой партии составляет 100 шт. Поле рассеяния размеров D _р = 0,16 мм. Для построения полигона размеров при­нято восемь D _р размерных групп с интервалом в 0,02 мм. В первой размерной группе оказалось 5 деталей, т. е. частость W ₁ = 0,05, во второй группе — 13, т. е. частость W ₂ = 0,13, и т. д. Получен­ные точки соединяют прямыми.

Экспериментально установлено, что при обработке большого числа заготовок на предварительно настроенных металлорежущих станках способом автоматического получения размеров 7¸9 квалитетов при относительно невысокой интенсивности износа инструмента точность обработки подчиняется (в большей или меньшей степени) закону нормального распределения, который изображается математической кривой Гаусса (рис. 1, б), уравнение которой

; (3)

где а — среднее квадратичное отклонение аргумента; а также – центр груп­пирования значений аргумента и его средним ариф­метическим;

е — основа­ние натуральных логарифмов.

Среднее квадратичное отклонение s определяют по результатам измерений партии заготовок по формуле

; (4)

где n — число произведенных измерений;

x_i — значение текущего измерения;

x_ср — среднее арифметическое данных измерений:

. (5)

Число измерений n следует брать 50 или более. При меньшем n погрешность определения s превышает ±10%.

Кривая нормального распределения симметрична. Ордината вершины кривой y _max будет при х = а; она определяется из выра­жения

.

Кривая имеет точки перегиба на расстояниях x ± s. Их ординаты равны

.

Величина а характеризует форму кривой распределения и является мерой точ­ности данного метода обработки; при увеличе­нии а вершина кривой снижается, но ветви кривой растягиваются, т.е. поле рассеяния размеров растет. При уменьшении s орди­ната кривой возрастает, а поле рассеяния сужается.

На рис. 2, а схематически показаны кривые распреде­ления диаметральных размеров при изготовлении пар­тии заготовок последова­тельно после предваритель­ной обработки (кривая s), чистовой обработки (кри­вая s₁), отделочной обработки (кри­вая s₂), причем при пра­вильном построении этапов процессов необходимо вы­полнение условия s > s₁ > s₂.

а) б) в)

Рис. 2

Если изготавливаются две партии одноименных заготовок, то появляется систематическая постоянная погрешность, связанная с погрешностью настройки оборудования на размер или с различными отклонениями применяемого инструмента. В этом случае кривые распределения погрешностей при изготовлении первой и вто­рой партий будут смещены одна относительно другой на размер постоянной погрешности D _П (рис. 2, б).

Изучение кривых распределения погрешностей позволяет выя­вить соотношение между числом годных и бракованных деталей. Предположим, что на изготовление заготовок установлен допуск d. На оси абсцисс (рис. 2, в) этот допуск определяется величинами х ₁ и х ₂ от границ центра группирования. Заштрихованный участок соответствует числу заготовок, находящихся в пределах поля до­пуска. Отношение площади этого участка к общей площади, огра­ниченной кривой, определяет вероятность получения годных заго­товок, так как площадь, ограниченная кривой нормального рас­пределения, соответствует общему числу заготовок в партии.

Площади F ₁ и F ₂ рассчитывают по формулам:

, (6)

. (7)

Если принять x / s = z, то эти интегралы можно представить в виде стандартной функции Ф (z):

; (8)

. (9)

Вся площадь, ограниченная кривой, равна 1. Значения вели­чин F ₁ и F ₂ меньше единицы. Значения функции Ф (z) через деся­тую долю аргумента приведены в табл. 1.

Таблица 1

z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)	z	Ф (z)
0,1	0,0797	0,8	0,5763	1,5	0,8664	2,2	0,9722	2,9	0,9963
0,2	0,1585	0,9	0,6319	1,6	0,8904	2,3	0,9786		0,9973
0,3	0,2358		0,6827	1,7	0,9109	2,4	0,9836	3,1	0,99806
0,4	0,3108	1,1	0,7287	1,8	0,9281	2,5	0,9876	3,2	0,99862
0,5	0,3829	1,2	0,7699	1,9	0,9426	2,6	0,9907	3,3	0,99903
0,6	0,4515	1,3	0,8064		0,9545	2,7	0,9931	3,4	0,99933
0,7	0,5161	1,4	0,8385	2,1	0,9643	2,8	0,9949	3,5	0,99953

Из табл. 1 видно, что в интервале z = ± 3, т.е. при х = ± 3s, площадь, ограниченная этим участком кривой, составляет 0,9973 всей площади. Это означает, что 99,73 % всех обработанных заго­товок, находящихся в интервале 6s, будут годными, и процент, брака не превысит 0,27 %.

Таким образом, определив для исследуемого процесса значе­ние s, можно установить точность данного метода обработки по ве­личине 6s (правило «шести сигм»). Если принять для расчета, например, величину 5s, то процент брака воз­растет до 1,24, так как согласно табл. 1 Ф (z) будет равно 0,9876. Возрастание вероятности брака почти в 4,5 раза недопустимо.

Правило «шести сигм» является достаточно точным для прак­тических расчетов.

Пример 1. Установить вероятность брака деталей, если среднее квадратич­ное отклонение для исследуемого процесса а = 0,015 мм, допуск на обработку d = 0,075 мм, а границы поля допуска (рис. 2, в) расположены от центра группи­рования на расстояниях х ₁ = 0,045 мм и х ₂ = 0,03 мм.

Решение. Определим значения z ₁ и z ₂:

z ₁ = х ₁/ а = 0,045/0,015 = 3;

z ₂ = x ₂/ а = 0,03/0,015 = 2.

По табл. 1 определим F ₁ и F ₂:

F ₁ = 0,5× Ф (z ₁) = 0,5×0,9973 = 0,4986;

F ₂ = 0,5 Ф (z ₂) = 0,58×0,9545 = 0,4772.

Вероятность брака (в процентах)

р = [1 – (F ₁ + F ₂)]×100 = [l – (0,4986 + 0,4772)]×100 = 2,42.

Пример 2. Определить, как изменится вероятность брака деталей по усло­виям предыдущей задачи, если путем наладки технологической системы совместить центр группирования кривой распределения с серединой поля допуска.

Решение. Из условия

z ₁ = z ₂ = d/ а = 0,075/0,015 = 2,5.

Найдем по табл. 1 F ₁ и F ₂:

F ₁ = F ₂ = 0,5 Ф (z) = 0,4938.

Вероятность брака (в процентах):

р = [1 – (F _l + F ₂)]×100 = [l – (0,4938 + 0,4938)]×100 = 1,24.

Следовательно, по сравнению с предыдущим примером вероятность брака уменьшится на 1,18%.

Задания 1

№ варианта	a	δ	x 1	x 2
	0,010	0,030	0,020	0,010
	0,015	0,033	0,021	0,012
	0,070	0,500	0,200	0,300
	0,04	0,06	0,01	0,05
	0,001	0,002	0,000	0,002
	0,045	0,10	0,07	0,03
	0,050	0,080	0,020	0,060
	0,006	0,008	0,0015	0,0065
	0,0080	0,0160	0,0060	0,0100
	0,016	0,050	0,015	0,035
	0,1	0,25	0,15	0,1
	0,018	0,04	0,018	0,022
	0,15	0,3	0,2	0,1
	0,036	0,05	0,01	0,04
	0,0025	0,004	0,004	0,000
	0,085	0,14	0,09	0,05
	0,025	0,050	0,020	0,03
	0,008	0,012	0,0075	0,0045
	0,090	0,160	0,090	0,070
	0,16	0,225	0,175	0,05
	0,008	0,011	0,009	0,002
	0,002	0,006	0,0025	0,0035
	0,170	0,25	0,2	0,05
	0, 4	0,7	0,05	0,65
	0,0006	0,002	0,0015	0,0005
	0,36	0,75	0,7	0,05
		3,2	1,000	2,200
	0,0200	0,04	0,0015	0,0385
	0,096	0,110	0,060	0,0500
	0,85	1,070	0,95	0,057

ЗАДАЧА № 2. Статистическое регулирование технологического процесса

Вероятностно-статистический метод оценки точности размеров (на основе кривых распределения) уни­версален и позволяет объективно оценить точность механической обработки, сборочных, контрольных и других операций. Недоста­ток метода — невозможность выявить изменение изучаемого пара­метра во времени, т.е. последовательности обработки заготовок, что не позволяет осуществить регулирование хода технологического процесса. Кроме того, переменные систематические погрешности сложно отделить от случайных; это затрудняет выявление и устра­нение причин погрешностей. От этих недостатков свободен, например, метод статистического регулирования технологического процесса.

Под статистическим регулированием технологического процесса понимается корректировка параметров процесса в ходе произ­водства с помощью выборочного контроля изготовляемой продукции для обеспечения требуемого качества и предупреждения брака. Для статистического регулирования процесса применяется метод медиан и индивидуальных значений и метод средних арифмети­ческих значений и размахов. (Медианой х называется срединное значение упорядоченного по возраста­нию или убыванию ряда чисел.)

Первый метод рекомендуется при отсутствии автоматических измерительных средств, второй — при наличии автоматических устройств для контроля.

Эти методы пригодны при погрешностях двусторонних (рас­пределение по закону Гаусса) и односторонних (распределение по закону Максвелла). Рассмотрим применение этих методов при рас­пределении размеров деталей по закону Гаусса.

Метод медиан и индивидуаль­ных значений. Из потока продукции через определенный про­межуток времени пери­одически отбирают вы­борку объемом 3¸10 (обычно – 5) единиц. Период вре­мени между двумя отборами выборок устанавливается опытным пу­тем, зависит от стабильности процесса и обычно составляет 1¸2 ч. Отобранные экземпляры измеряют шкальными инструментами.

При распределении погрешностей по закону Гаусса на карту (рис. 1) наносят результаты контроля.

Регулируемые и проверяемые параметры	Номера выборок
Размер 38–0,05			¯	¯	¯	¯	¯	¯
38,00									ТВ
									РВР
37,99									РВ
37,98
37,97
37,96									РН
									РНР
37,95									ТН

Рис. 1

Карта имеет две внешние сплошные горизонтальные линии, ограничивающие поле допуска, — Тв и Тн и четыре предупредительные: две — Рв и Рн, являющиеся границами для регулирования медиан, и еще две — Рвр и Pнр — для регулирования крайних значений данной выборки.

Положение предупредительных границ рассчитывается по фор­мулам:

Рв = Тв – А ×d/2; (1)

Рн = Тн + А ×d/2; (2)

Рвр = Тв – В ×d/2; (3)

Рнр = Тн + В ×d/2, (4)

где 0,8 — поправочный коэффициент, учитывающий погрешность измерения;

А и В — коэффициенты, зависящие от объема выборки (при выборке n = 5 единиц A = 0,447, В = 0,183) (Коэффициенты А и В определяют на основе теоретических положений статистического контроля).

d —допуск.

Далее на карту наносят результаты замеров в виде точек, за исключением тре­тьего измерения (при n = 5), которое отмечается крестиком (согласно рис. 1, например, результаты замеров в пер­вой выборке 37,97; 37,97; 37,98; 37,99; 37,99; размер 37,98 явля­ется средним). Протекание процесса счи­тается удовлетворительным, если медианы х не выходят за границы Рв и Рн, а крайние значения выборок — за границы Рвр и Рнр. При таком процессе продукцию, изготовленную между данной и предыдущей выборками, принимают без дополнительного контроля. Если же имеются выходы точек за границы регулирования, то про­цесс считается неудовлетворительным. Например, выборки 4, 5 и 6 вышли крайними значениями за границу Рвр, а выборки 3, 4, 5, 7 и 8 — за границу Рнр; в то же время медианные значения всех выборок остались в допустимых границах Рн и Рв. Это свидетельствует о преимущественном действии случайных колебаний параметров рабочего процесса при устойчивости процесса в целом (номинальных значений параметров). В этом случае дают сигнал предупреждения, на карте делают отметку в виде стрелки и устраняют причину, вызвавшую откло­нение процесса от нормального хода. Продукция, изготовленная между двумя выборками 3 и 8, подлежит сплошному контролю.

Метод средних арифметических значе­ний и размахов (x, R). При этом методе также отбирают выборки объемом 3¸10 единиц. Отобранные экземпляры измеряют шкальными инструментами.

Статистическими характеристиками при этом методе являются среднее арифметическое значение х и размах варьирования R данной выборки, определяемые по формулам:

(5)

где x_i — результат замера контролируемого параметра;

n — число замеров в выборке;

R = x _наиб – x _наим; (6)

где x _наиб и x _наим — наибольшее и наименьшее значения в выборке.

Результаты замеров и расчетов значений х и R изображают графически. На рис. 2 показан пример контрольной карты при распределении по закону Гаусса одного из показателей качества, регулируемого в пределах значений 60¸65.

В верхней части карты нанесены графически средние арифметические значения х. Здесь Тв и Тн — две внешние границы поля допуска, а Рв и Рн — две внутренние, ограничивающие поле предупреждения.

В нижней части карты отложены значения размаха варьирова­ния R и нанесены три границы: верхнего предела допуска TвR = d, нижней сплошной границы, обычно принимаемой равной нулю, и верхней границы регулирования РвR.

При удовлетворительном протекании процесса средние арифме­тические значения х выборок не должны выходить за границы регулирования Рв и Рп, а размахи R — за свою границу PвR. Предупредительные границы регулирования сигнализируют о воз­можности возникновения брака.

Границы Рв и Рн определяют по формулам:

Рв = Тв – А ×d/2; Рн = Тн + А ×d/2, (7)

где d —допуск;

А — коэффициент, зависящий от объема выборки (при n = 5 А = 0,447).

Границу для размахов определяют по формуле

PвR = ТвR – B ×d/2 = d(1 – B/2), (8)

где В — коэффициент, зависящий от объема выборки (для n = 5 В = 0,183).

Регулируемые и проверяемые параметры	Номера выборок
Размер				¯		¯
65									ТВ
									РВ
									РН
									ТН
xi
å xi
xi НАИБ
xi НАИМ
R
				¯	¯
									ТВR
									РВR

Рис. 2

Из рис. 2 видно, что выборки 4, 5 и 6 сигнализируют о разладке процесса. Т.е. необходимо применять корректирующие воздействия на ход технологического процесса.

Задания 2

Вариант № 1

№ выборки	Допуск	Результаты измерений
	15­^+0,015	15,001	15,010	15,003	15,006	15,008
	15,010	15,003	15,013	15,007	15,009
	15,012	15,015	15,010	15,012	15,013
	15,000	15,001	15,002	15,001	15,004
	15,014	15,013	15,012	15,003	15,005
	15,006	15,005	15,005	15,003	15,003

Дата добавления: 2015-04-30