Систематические погрешности измерений

.

Таким образом, интегральная функция распределения растет линейно со случайной погрешностью от F(A) = 0 при А = –а до F(A) = 1 при А = +а. При прохождении абсциссы через нуль интегральная функция равна 0,5. Этого и следовало ожидать, так как равномерное распределение симметрично. При увеличении случайной погрешности сверх А = +а площадь под кривой распределения сохраняет постоянное значение, равное единице. Окончательное выражение для интегральной функции равномерного распределения следующее

(5.24)

Найдем числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле (5.8)

.

Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле (5.17)

,

. (5.25)

В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю:

;

S_k=0 (5.26)

Для определения эксцесса найдем четвертый момент случайной погрешности:

(5.27)

поэтому

(5.28)

Найдем вероятность попадания случайной погрешности с равномерным законом распределения в заданный интервал [ , ]

		(5.29)

В том случае, если интервал [ , ] полностью укладывается в интервале [-α;+α], в котором распределены возможные значения случайных погрешностей, искомая вероятность равна отношению длин этих интервалов. Если же интервал [ , ] находится за границами интервалов распределения [-α;+α], то эта вероятность равна нулю.

Наиболее часто при описании случайных погрешностей встречается распределение, близкое к нормальному, дифференциальная функция которого выражается уравнением

. (5.30)

На рисунке 5.5 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений с.к.о. результатов наблюдений (σ_1x>σ_2x>σ_3x). Из рисунка 5.5 видно, что по мере увеличения с.к.о. распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений. Определим вероятность попадания результата наблюдения в некоторый заданный интервал [х₁; х₂], произведя замену переменных

(5.31)

(5.32)

Интегралы, стоящие в квадратных скобках, не выражаются в элементарных функциях, поэтому их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального распределения дифференциальной функции

(5.33)

В литературе [1-6] приведены значения дифференциальной функции нормированного нормального распределения, а также интегральной функции этого распределения, определяемой

(5.34)

С помощью функции Ф(z) вероятность, определенную по формуле (5.32), находят:

(5.35)

При использовании формулы (5.34) следует иметь в виду тождество

Ф(z)≡1 – Ф(-z) (5.36)

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых знаменитых математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики: Р. де Лаплас, К.Ф.Гаусс, А.М.Ляпунов, П.Л.Чебышев и А. де Муавр. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

5.4. Точечные оценки истинного значения измеряемой величины и с.к.о. на основании ограниченного ряда

наблюдений

Выясним, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, и как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению.

Эта задача является частным случаем оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров:

– оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается к значению оцениваемого параметра;

– оценка называется несмещененной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру;

– оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше любой другой дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно всем этим требованиям, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения.

Получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблюдений состоит из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) х₁ х₂;...; х_n, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как п независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающим с распределением F(x). Поэтому

М[х_i] = М[х]; D[_Xi] = D[x]; i = l,2,...,n.

В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеряемой величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений

. (5.37)

Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерения и может стать оценкой истинного значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей. Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое само является случайной величиной. Вычислим его математическое ожидание:

. (5.38)

Это значит, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой истинного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки, являющиеся линейными функциями результатов наблюдений

.

Покажем, что среди всех определенных таким образом оценок среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию. Для этого вычислим дисперсию

.

Но квадратичная форма достигает минимума, если все а_шодинаковы и равны 1/n. Тогда из оценки мы получаем среднее арифметическое х, имеющее, таким образом, дисперсию

, (5.39)

которая меньше дисперсии любой другой линейной оценки. При некоторых определенных видах распределения результатов наблюдений, например, при нормальном распределении, среднее арифметическое является, кроме того, и эффективной оценкой истинного значения.

Таким образом, дисперсия среднего арифметического оказывается в п раз меньше дисперсии результатов наблюдений, или, в терминах с.к.о.,

, (5.40)

т.е. с.к.о. среднего арифметического в раз меньше с.к.о. результата наблюдений. По мере увеличения числа наблюдений стремится к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряда наблюдений сходится по вероятности к математическому ожиданию и является его состоятельной оценкой. Из этого, конечно, не следует, что среднее арифметическое ближе к истинному значению, чем результат каждого отдельного наблюдения. Напротив, некоторые из результатов наблюдений могут быть ближе к Q, но, к сожалению, мы не можем выбрать эти результаты из числа других результатов ряда. Именно поэтому приходится прибегать к определению среднего арифметического.

Логическим следствием оценки истинного значения измеряемой величины средним арифметическим ряда наблюдений является оценка фактических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего арифметического

. (5.41)

По мере увеличения числа наблюдений распределение случайных отклонений результатов наблюдений асимптотически сводится к распределению случайных погрешностей. В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности естественно выбрать величину

. (5.42)

Эта оценка состоятельна, однако она немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

Поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

(5.43)

а оценку с.к.о. результатов наблюдений - как

(5.44)

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, т.е. степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее, являясь случайной величиной, имеет дисперсию, в п раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение

(5.45)

где - с.к.о. результатов наблюдений.

5.5 Оценка случайных погрешностей с помощью интервалов

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия ах. Тогда, полагая в уравнении (5.31) t₁=-t₂=t_p, найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал (). Согласно формулам (5.35), (5.36)

.

Но

и, если систематические погрешности исключены (М[х] = Q),

(5.46)

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью P=2-Ф(t_p)-1 находится между границами доверительного интервала [ ].

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы задаются доверительной вероятностью, например Р=0,95 или Р = 0,99, и по формуле

(5.47)

определяют соответствующее значение Ф(t_p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным зависимости Ф(t_p) от t_p находят значения коэффициента t_p и вычисляют доверительное отклонение, равное

(5.48)

Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Если результаты наблюдений x_i (i=1,2,...,n) распределены нормально, то нормально распределены и величины x_i/n, а значит и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

(5.49)

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов п независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений. Половина длины нового доверительного интервала

(5.50)

называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

, (5.51)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины и вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания (5.37) и с.к.о. результатов наблюдений (5.44).

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного B.C. Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, и впоследствии доказанного Р.А. Фишером, который связал его с именем Стьюдента, выражается следующим уравнением

, (5.52)

где S(t;K) - плотность распределения Стьюдента.

Величина K называется числом степеней свободы и равна n–1.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (–t_p;+t_p) согласно выражению (5.7) вычисляется по формуле

(5.53)

или, поскольку S(t; К) является четной функцией аргумента

. (5.54)

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через х, Q и получим окончательно

(5.55)

Величины t_p, вычисленные по формулам (5.52), (5.54), были табулированы Р.А.Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10 - 0,99 при k= n-1 = 1,..., 30. В приложениях работ [1-6] приведены значения t_p для некоторых, наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р. В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются именно распределением Стьюдента. Дело в том, что при Р>0,85 значение коэффициента, умножаемого на , максимально именно для нормального распределения. Поэтому надежность оценки границ случайной погрешности только повышается.

5.6 Обнаружение грубых погрешностей

Уже отмечалось, что грубыми являются погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями проведения эксперимента. Если какую-либо величину измерять один раз, то для обнаружения грубой погрешности не будет никаких данных. При двух измерениях согласие результатов будет некоторой гарантией отсутствия грубой погрешности. При большом количестве измерений для обнаружения грубых погрешностей необходимо использовать статистические критерии. Существует несколько критериев оценки грубых погрешностей, наибольшее распространение среди которых получил критерий "трех сигм". Оказывается, что при доверительной вероятности Р = 0,9973 при n>30 значение коэффициента t_p = 3,0. Это значение t_p можно считать предельно возможным при определении по формуле (5.48), так как вероятность появления большего значения равна всего лишь 0,0027. Поэтому, если

, (5.56)

то i-e наблюдение содержит грубую погрешность и должно быть исключено при обработке результатов наблюдений.

6.1 Классификация систематических погрешностей

Напомним, что систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Следовательно, исходя из определения, по характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке средств измерений и остаются постоянными по своему значению и знаку в течение всего времени измерений.

Переменные систематические погрешности в свою очередь делятся на прогрессирующие, периодические и изменяющиеся по сложному закону.

Прогрессирующими называются погрешности, которые в процессе измерений постепенно убывают или возрастают. Например, причинами возникновения прогрессирующих погрешностей могут быть разрядка источников питания, старение резисторов, конденсаторов, деформация механических деталей и т.п.

Периодическими называют погрешности, периодически изменяющие значение и знак. В качестве примера можно привести средства измерений с круговой шкалой, стрелка которых при измерении совершает несколько оборотов (секундомеры, индикаторы часового типа и т.п.). Периодическая погрешность в показаниях таких устройств возникает в тех случаях, когда ось вращения стрелки не совпадает с центром окружности шкалы. Другой пример - наложение гармонической помехи, источником которой является напряжение сети, на измеряемое с помощью вольтметра напряжение постоянного тока.

Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, могут быть выражены в виде кривой или в виде формулы. В качестве примера можно привести погрешность меры длины, возникающую при отклонении температуры от нормальной, т.е. той, при которой была определена длина меры. Эти погрешности выражаются следующей формулой: Δl_t=(a·Δt+b·Δt²), где Δl_t – погрешность меры длины, возникающая при изменении температуры на Δt; 1_H – длина меры при нормальной температуре; Δt = t_И – t_H - отклонение температуры от нормальной; t_H – нормальная температура; t_И – температура при применении меры длины; а, b - коэффициенты, определенные при проведении совместных измерений.

Наличие систематических погрешностей устойчиво искажает результаты измерений, а отсутствие или близость их к нулю определяет правильность измерений. Таким образом, задача определения правильности измерений должна предусматривать обнаружение, оценку и уменьшение (либо полное исключение) систематических погрешностей. Те систематические погрешности, которые остались в результатах измерений после этих операций, называются неис-ключенными остатками систематических погрешностей. Например, при измерении сопротивления резистора вносится поправка на влияние температуры. Систематическая погрешность была бы полностью устранена, если бы мы точно знали температурные коэффициенты резистора и температуру. И то, и другое мы знаем с ограниченной точностью и поэтому полностью данную погрешность не устраним, останется ее неисключенный остаток. Он может быть малым или большим, это мы можем оценить, но его действительное значение остается неизвестным. Тем не менее эта остаточная погрешность имеет какое-то определенное значение, остающееся постоянным при повторных измерениях, и поэтому является систематической. Неисключенные остатки систематических погрешностей при обработке результатов наблюдений суммируются со случайными погрешностями, т.е. они переходят при суммировании в разряд случайных.

6.2 Способы обнаружения и оценки систематических погрешностей

Задача обнаружения и оценки систематических погрешностей относится к числу достаточно сложных метрологических задач и не всегда разрешима. Применяемые способы обнаружения и оценки систематических погрешностей можно условно разбить на две группы: теоретические и экспериментальные.

Теоретические способы возможны и эффективны тогда, когда известно или может быть получено аналитическое выражение для искомой погрешности на основании определенной информации. Характерным примером является обнаружение и оценка методических погрешностей, которые возникают при введении различных упрощений и допущений (например, методическая погрешность измерения электрического сопротивления при помощи амперметра и вольтметра, рассмотренная выше).

Экспериментальные способы также предполагают наличие определенной априорной информации об исследуемых погрешностях, но эта информация носит лишь качественный характер. Обнаружение и оценка систематических погрешностей в таких случаях возможны после проведения специальных экспериментальных исследований и обработки их результатов.

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических погрешностей, называются неисправленными и в отличие от исправленных (не содержащих систематические погрешности) снабжены штрихами при их обозначении: x₁’,…,x_n’. Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от них результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,

(6.1)

Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические погрешности, сумму которых для каждого i-ro наблюдения будем обозначать через Δ_si, то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину Δ_s, называемую систематической погрешностью среднего арифметического. Действительно,

(6.2)

Случайные отклонения результатов наблюдений от средних арифметических отличаются от неисправленных отклонений

(6.3)

Если систематические погрешности постоянны, т.е. Δ_si = Δ_s, i = 1,..., n, то v_i=v_i' и неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты наблюдений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные по знаку:

qi=–Δ_si. (6.4)

Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их путем введения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самого измерения. Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.

Постоянные систематические погрешности, определяемые при эксперименте, не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры равна искомой систематической погрешности.

Для обнаружения постоянных систематических погрешностей, зависящих от внешних влияющих величин, необходимо изменять значения этих влияющих величин. Если средние арифметические результатов наблюдений резко изменяются при изменении влияющих величин, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от влияющих величин.

При прогрессирующей систематической погрешности последовательность неисправленных отклонений результатов наблюдений обнаруживает тенденцию к возрастанию или убыванию. Если же в ряде результатов наблюдений присутствует периодическая систематическая погрешность, то группы знаков "плюс" и "минус" в последовательности неисправленных отклонений результатов наблюдений могут периодически сменять друг друга, если, конечно, случайные погрешности меньше систематических.

Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика погрешности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических. Разумеется, сделанные по результатам анализа таких графиков выводы носят лишь качественный характер и объективны лишь в тех случаях, когда сопутствующие случайные погрешности значительно меньше искомой систематической.

6.3 Способы уменьшения систематических погрешностей

Так как систематические погрешности являются детерминированными величинами, уменьшение или даже полное исключение их возможно на всех этапах измерительного эксперимента. Способы исключения систематических погрешностей можно разделить на три основные группы:

устранение источников систематических погрешностей до начала измерений (профилактика систематических погрешностей);

исключение систематических погрешностей в процессе измерения с использованием специальных методов (экспериментальное исключение систематических погрешностей);

внесение известных поправок в результат измерения (исключение систематических погрешностей математическим путем).

Рассмотрим эти способы.

Устранение источников систематических погрешностей до начала измерений. Этот способ исключения систематических погрешностей является наиболее рациональным, так как он полностью или частично освобождает от необходимости устранять погрешности в процессе измерения или вычислять результат с учетом поправок. Другими словами, устранение источников систематических погрешностей существенно упрощает и ускоряет процесс измерения.

Способ может включать в себя: выбор таких методов, средств измерений, планов проведения экспериментов, которые обеспечивали бы минимальные систематические погрешности; тщательную установку нулевых показаний и калибровку средств измерений; прогрев средств измерений в течение времени, указанного в инструкции по эксплуатации; применение при сборке коротких соединительных проводов, а на сверхвысоких частотах - коаксиальных кабелей; применение в необходимых случаях экранирования и термостатирования; правильное размещение средства измерений (установка в рабочее положение, размещение вдали от источников тепла и электромагнитных полей и т.п.); применение только предварительно поверенных средств измерений и т.д.

Исключение систематических погрешностей в процессе измерений. Этот способ является эффективным путем исключения ряда систематических погрешностей. При этом нет необходимости применять какие-либо специальные установки и приспособления. Как правило, это методы измерений, позволяющие не только исключать систематические погрешности, но и оценить их.

Метод замещения. Этот метод измерений является одной из модификаций метода сравнения, которые рассмотрены в 3.2.

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод исключения систематических погрешностей заключается в том, что измерение проводят дважды так, чтобы известная по природе, но неизвестная по размеру погрешность входила в результаты с противоположными знаками. Погрешность исключается при вычислении среднего значения. В алгебраической форме это можно выразить следующим образом.

Пусть x1 и x2 - результаты двух измерений; Δs - систематическая погрешность, природа которой известна, но неизвестно ее значение; хд - значение измеряемой величины, свободное от данной погрешности. Тогда х1 = хд + Δs; x2 = хд - Δs. Среднее значение равно

(6.5)

Этот метод применяется ограниченно. Его используют для исключения только таких погрешностей, источники которых имеют направленное действие.

Одним из характерных примеров является исключение погрешности, обусловленной влиянием магнитного поля Земли. Для этого используют средство измерений, о котором известно, что под действием магнитного поля Земли в его показаниях могут возникнуть систематические погрешности.

Первое измерение можно проводить, когда средство измерений находится в любом положении. Перед тем как выполнить второе измерение, средство измерений поворачивают в горизонтальной плоскости на 180 град. Если в первом случае магнитное поле Земли, складываясь с полем средства измерений, вызывает положительную погрешность, то при повороте его на 180 град магнитное поле Земли будет оказывать противоположное действие и вызовет отрицательную погрешность по размеру, равную первой.

Пользуясь методом компенсации погрешности по знаку, можно исключить систематические погрешности, вызванные явлениями гистерезисного характера (магнитный гистерезис в ферромагнитных материалах, механический гистерезис в упругих материалах и т.п.).

Метод изменения знака входной величины. Этот метод основан на том, что величина и знак систематической погрешности не изменяются при смене знака измеряемой величины на противоположный. Так же, как и в предыдущем методе, измерения проводятся дважды, и погрешность исключается при вычислении среднего значения разности двух показаний. В алгебраической форме это можно выразить следующим образом:

x₁=x_д+Δ_s; x₂= -x_д+Δ_s;

(6.6)

Метод, например, может применяться в компенсаторах постоянного тока для исключения погрешности от термо- и контактных э.д.с. Здесь используется то обстоятельство, что знак термо- и контактных э.д.с. не зависит от знака измеряемого и питающего напряжений.

Метод противопоставления. Этот метод имеет большое сходство с методом компенсации погрешности по знаку. Он заключается в том, что измерения проводят два раза, причем так, чтобы причина, вызывающая погрешность при первом измерении, оказала противоположное действие на результат второго.

В качестве примера может служить взвешивание на равноплечих весах (способ, предложенный Гауссом для исключения погрешности вследствие остаточной неравноплечести).

При первом взвешивании массу М_х, помещенную на одну чашку весов, уравновешивают гирями с общей массой M₁, помещенными на другую чашку. Тогда

, (6.7)

где l₂/l₁ - действительное отношение плеч.

Затем взвешиваемую массу перемещают на ту чашку, где находились гири, а гири - на ту, где находилась масса. Так как отношение плеч l₂/l₁ не точно равно единице, равновесие нарушится и для уравновешивания массы М_х придется использовать гири с общей массой М₂:

. (6.8)

Разделив равенство (6.7) на выражение (6.8), получим

M_x=M₁·M₂ (6.9)

или, если M_l и М₂ лишь немногим отличаются друг от друга,

. (6.10)

Это выражение и равенство (6.5) одинаковы. Однако равенство (6.5), получаемое для метода компенсации погрешности по знаку, точно отражает сущность исключения погрешности. В данном же случае формула является приближенной.

Если сравнить оба метода в их математическом выражении, то можно обнаружить, что в способе компенсации погрешности по знаку погрешность, подмостах для измерения параметров электрических цепей, главным образом, при измерении электрического сопротивления на постоянном токе.

Метод периодических наблюдений. В случае периодических погрешностей действенным методом исключения последних является метод периодических наблюдений, основанный на наблюдениях четного числа раз через полупериоды. Периодическая погрешность изменяется по закону

Δ_s(t) = A·sin(2·π·t/T), (6.11)

где Т - период изменения погрешности; t - независимая переменная, от которой зависит погрешность (время, угол поворота стрелки прибора и т.п.).

Пусть при t = to значение погрешности

Δ_s(t₀) = A·sin(2·π·t₀/T).

Найдем значение этой погрешности для t = t₀ + Δt, где интервал Δt такой, что Δ_s(t₀ + Δt) = -Δ_s(t₀). Определим значение интервала Δt. Имеем

2·π·(t₀+Δt)/T=2·π·t₀/T+π

откуда

2·π·Δt/T=π и Δt=T/2. (6.12)

В этом случае

[Δ_s(t₀) + Δ_s(t₀ + Δt)] = 0. (6.13)

Следовательно, периодическая погрешность исключается, если взять среднее из двух наблюдений, произведенных одно за другим через интервал, равный полупериоду независимой переменной t, определяющей значение периодической погрешности. То же будет и для множества пар подобного рода наблюдений.

Например, применение этого метода в цифровых вольтметрах постоянного тока с двухтактным интегрированием позволяет высокую помехозащищенность таких вольтметров, Это достигается благодаря тому, что время интегрирования измеряемого напряжения равно четному числу полупериодов помех от напряжения сети.

Метод симметричных наблюдений. Используется для исключения прогрессирующей погрешности, которая изменяется по линейному закону, например, пропорционально времени.

Такой характер имеет погрешность измерения напряжения с помощью потенциометра, если происходит заметное падение напряжения источника, создающего рабочий ток. Формально, если известно, что рабочий ток потенциометра изменяется линейно во времени, то для устранения возникающей погрешности достаточно двух наблюдений, выполненных с фиксацией времени после регулировки рабочего тока по нормальному элементу. Пусть

E₁=U_x+k·t₁; E₂=U_x+k·t₂, (6.14)

где t₁ и t₂ - интервалы времени между регулировкой рабочего тока и наблюдениями;

k – коэффициент пропорциональности между погрешностью измерения и временем, E₁ и Е₂ - результаты наблюдений.

Отсюда

. (6.15)

Однако при точных измерениях целесообразно пользоваться более сложным алгоритмом, который состоит в том, что несколько наблюдений выполняют через равные промежутки времени и затем вычисляют средние арифметические симметрично расположенных наблюдений.

Метод рандомизации. Эффективным способом уменьшения систематических погрешностей является их рандомизация, т.е. перевод в случайные. Пусть, например, имеется n однотипных приборов с систематической погрешностью одинакового происхождения. Если для данного прибора эта погрешность постоянна, то от прибора к прибору она изменяется случайным образом. Поэтому измерение одной и той же величины всеми приборами и усреднение результатов полученных наблюдений позволяют значительно уменьшить эту погрешность. Того же эффекта можно добиться, изменяя методику и условия эксперимента или те параметры, от которых не зависит значение измеряемой величины, но зависят систематические погрешности ее измерения.

Внесение известных поправок в результат измерения. Систематические погрешности являются детерминированными величинами, поэтому в принципе могут быть вычислены и исключены из результатов измерения. Для исправления результатов наблюдений их складывают с поправками, равными систематическим погрешностям по величине и обратными им по знаку:

, (6.16)

где x_i, x'_i - соответственно исправленный и неисправленный результаты наблюдений.

Иногда результаты наблюдений умножают на поправочные множители (η):

. (6.17)

ЛИТЕРАТУРА

1 Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии: Учеб. пособие для вузов.- М.: Изд-во стандартов, 1975.

2 Тюрин Н.И. Введение в метрологию: Учеб. пособие. - М.: Изд-во стандартов, 1985.

3 Короткое В.П., Тайц Б.А. Основы метрологии и теории точности измерительных устройств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд-во стандартов, 1978.

4 Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством: Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд-во стандартов, 1990.

5 Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978.

6 Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985.

Дата добавления: 2015-04-30