Обработка результатов прямых многократных измерений на базе теории погрешностей

В метрологии для повышения достоверности и представительности результатов измерений часто применяют многократные измерения одной и той же физической величины. При этом каждый единичный результат называют наблюдением при измерении. Поэтому под обработкой результатов измерений понимают обработку результатов многократных прямых измерений одной и той же физической величины. По заданию курсовой работы дан массив 1 результатов многократных наблюдений, представленный в таблице 2.1:

Таблица 2.1 – Массив результатов измерений (читать построчно):

42,015 42,000 41.979 42.002 41.971 41.999 41.988 41.987 41.959 41.948 41.984 41.959 41.980 42.028 42.047 41.844 41.910 41.964 41.953 41.941 41.874 41.900 41.913 41.881 41.907 41.874 41.901 41.933 41.923 41.899 41.849 41.886 41.950 41.892 41.882 41.877 41.874 41.901 41.872 41.897 41.882 41.886 41.858 41.885 41.870 41.850 41.802 41.874 41.842 41.832 41.796 41.875 41.833 41.897 41.831 41.845 41.842 41.837 41.838 41.817 41.836

Внесем данные массива в пакет STATISTICA столбец 1(рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Данные массива измерений

Построим точечную диаграмму для серии измерений (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Точечная диаграмма серии измерений

Данный массив аппроксимируем прямой линией (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Точечная диаграмма серии измерений

Из построенной диаграммы просматривается тенденция увеличения результатов, которую проще всего аппроксимировать прямой линией. Такая тенденция свидетельствует о наличии в результатах прогрессирующей систематической погрешности линейного характера. Также на диаграмме видно, что результаты измерений N=14,15,16 можно считать результатами с грубой погрешностью. Причиной появления этого результат может быть ошибка оператора или сбой в работе прибора. Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения.

В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии используем такой параметр, как размах неисправленных результатов многократных измерений:

R’=X_max-X_min.

Геометрически размах R’ неисправленных результатов измерений можно представить, проведя через самую верхнюю и самую нижнюю точки прямые, параллельные оси абсцисс, как показано на рисунке 2.4.

Для оценки размаха «исправленных» результатов измерений R, который определяет рассеяние результатов только из-за наличия случайной составляющей погрешности, исключают влияние переменной систематической составляющей погрешности. Размах R определим как расстояние между двумя линиями, проведенными эквидистантно аппроксимирующей линии через две наиболее удаленные от нее точки, как показано на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Размахи R’ неисправленных и R исправленных результатов измерений

Найдем числовые значения размахов: R’=42.015-41.796= 0.219 (неисправленный)

R=41.897-41.874= 0.023 (исправленный)

После аппроксимации и проведения эквидистант на точечной диаграмме в пакете STATISTICA, определим отклонения Vi как расстояние от результата измерений до аппроксимирующей линии: V_i = X_i – X_ср

Результаты отклонений представлены на рисунке 2.5 и в таблице 2.2.

Рисунок 2.5 Результаты отклонений Vi

Таблица 2.2 Результаты отклонений Vi

№	Vi	№	Vi	№	Vi
	0,027		-0,0314		-0,0125
	0,0106		-0,0155		0,0174
	-0,0075		-0,04446		0,0053
	0,0184		-0,0157		-0,0118
	-0,0097		-0,0458		-0,0569
	0,0212		-0,0159		0,018
	0,0131		0,019		-0,0111
	0,015		0,0119		-0,0182
	-0,0101		-0,0092		-0,0513
	-0,0182		-0,0563		0,0306
	0,0207		-0,0164		-0,0085
	-0,0014		0,0505		0,0584
	0,0225		-0,0046		-0,0047
	0,0734		-0,0117		0,0122
	0,0953		-0,0138		0,0121
	-0,1048		-0,0139		0,01
	-0,0359		0,016		0,0139
	0,021		-0,0101		-0,0042
	0,0129		0,0178		0,0177
	0,0038		0,0057
	-0,0603		0,0126

Проверим правильность расчётов значений отклонений по формуле:

= -0,048 приблизительно равно 0

Значит, расчеты выполнены верно.

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Сделаем проверку гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия. Используем для этого критерий Пирсона. Построим гистограмму (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Гистограмма и график плотности нормального распределения

Построим таблицу частот с помощью пакета STATISTICA (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Результаты расчетов эмпирических и теоретических частот массива

Число степеней свободы вычисляем по формуле:

k= m-2-1=5-3=2,

где m- число интервалов (у нас 5).

Подсчитаем значение χ²(наблюдаемое) по следующей формуле:

,

где fi – наблюдаемые (эмпирические) частоты (Observed frequency), fi´ - ожидаемые (теоретические) частоты (Expected frequency).

Расчеты представим в таблице 2.3

Таблица 2.3 – Расчеты значения χ²

Наблюдаемые частоты fi	Ожидаемые частоты fi ^´
	0,04100	0,959	0,919681	22,43124
	1,22387	-1,22387	1,497858	1,22387
	10,43636	-2,43636	5,93585	0,56877
	25,90750	-0,9075	0,823556	0,03179
	19,02378	3,97622	15,81033	0,83108
	4,10829	-1,10829	1,228307	0,29898
	0,25921	0,74079	0,54877	2,11709
χ^2набл	27,50282

Значение χ ² (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы k=2 и уровня значимости α=0,05: χ ²_критич=5,992

В нашем случае χ ²_набл<χ ²_критич, т.е. 5,992<27,502.

Тогда согласно критерию Пирсона принимаем гипотезу о нормальном распределении.

Проведем статистическую проверку наличия результатов с грубыми погрешностями по критерию 3 .

Составим в пакете STATISTICA следующую таблицу, представленную на рисунке 2.8

Рисунок 2.8 – Параметры распределения

Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|Vmax| <3 х: 3 х = 3·0,032= 0,096

Vmax=0,095, Vmin=-0,105

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения).

Определяем доверительную границу результата измерения Δ для значения доверительной вероятности P=0,95, коэффициент Стьюдента t=2, а при доверительной вероятности P=0,99, коэффициент Стьюдента t=3. Тогда рассчитываем значение Δ по формуле:

^,

где t – коэффициент Стьюдента.

Следовательно, для P=0,95 Δ=2·0,004=0,008,а для P=0,99 Δ=3·0,004=0,012.

Запишем результат измерения A в установленной форме:

Q = X_ср + Δ, Р,

где Δ = t σ_Xср;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от n и Р;

Р – доверительная вероятность.

Поскольку в серии результатов наблюдений присутствует переменная систематическая погрешность, точечную оценку в виде X_ср не представляем, заменяя ее буквенной оценкой общего вида А.

Результат запишем в следующей форме:

(А ±0,008), P=0,95

(А ±0,012), P=0,99

Вместо А будем использовать среднее арифметическое:

(41,9 ± 0,008); P=0,95.

(41,9± 0,012); P=0,99.

Записанный результат означает, что с такой вероятностью (P=0,95 или P=0,99) данный интервал накрывает истинное значение измеряемой величины. Чем больше вероятность появления значений погрешностей, тем они ближе к нулю.

Графическая интерпретация результата измерений представлена на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 –Графическая интерпретация результата измерений при нормальном распределении случайной погрешности

Графическая интерпретация для неопределенности результата измерений представлена на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10 – Графическая интерпретация неопределенности результата измерения

Далее при наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_i рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности.

Согласно заданию Θ₁ = 0,02; Θ₂ =0,32; Θ₃ =0,013, Θ₄ =0,015.

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные методические систематические погрешности, погрешности средств измерений и погрешности от других источников.

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции всех неисключенных систематических погрешностей. Эти границы (без учета знака) можно вычислить с использованием зависимости

,

где Θ_i – граница i -й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

Значение коэффициента k при выбранной доверительной вероятности
Р = 0,95 принимают равным 1,1.

Далее для оценки значимости неисключенных систематических погрешностей по сравнению со случайными берут соотношение Θ / S(Ã).

Θ/S(Ã)= 0,3534/0,032=11,04

11,04>8

Значение неисключённой систематической погрешности превышает 8,0S(Ã), по этому пренебрегаем случайной погрешностью как пренебрежимо малой по сравнению с систематической и принимаем, что граница погрешности результата ∆= Θ

Результат запишем в следующей форме:

(41,9 ± 0,008); P=0,95.

Дата добавления: 2015-04-30