Методика построения гистограммы

распределения результатов наблюдений

Государственный комитет СССР по стандартам в рамках Государственной системы обеспечения единства измерений разработал ГОСТ 8.207-76 "Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов измерений", в соответствии, с которым при обработке результатов многократных наблюдений необходимо выполнять следующие операции:

1) исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

2) вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

3) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений;

4) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

5) проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

6) вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Как видно из перечисленных операций, доверительные границы на результат измерения можно установить лишь после проверки результатов наблюдений на нормальность распределения.

При числе наблюдений N > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является критерий Пирсона (критерий ).

Идея проверки по этому критерию заключается в следующем: на основании гистограмм, полученной по результатам наблюдений, выдвигается гипотеза о том, что результаты наблюдений подчиняются какому-либо закону, например, нормальному:

(1.1)

где - математическое ожидание,

- дисперсия.

Для того, чтобы принять или опровергнуть эту гипотезу, выбирается некоторая величина, представляющая собой меру расхождения теоретического и статистического распределения. По Пирсону эта мера обозначается через . Как конкретно определяется эта мера будет показано далее. Сейчас же покажем, как строится гистограмма результатов наблюдений.

1 Построение гистограммы результатов наблюдений

Гистограмма (рис.1) строится следующим образом по горизонтали откладываются результаты измерений Х (от Х доХ -основание гистограммы), а по вертикали - частостиР (либо часто­ты m ), где i - номер интервала, на которые разбит диапазон измерений; m - количество результатов измерений, попавших в i-ый интервал;

,

N - общее число результатов измерений.

При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующих правилом:

1) число r интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям таблицы 1;

2) длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако, если распределение неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы, т.е. увеличить число r примерно в 1,5 – 2 раза.

Рисунок 1. Фрагмент гистограммы

Таблица 1

Число наблюдений	r
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

Длина интервала определяется по следующему выражению:

, (1.2.)

где - минимальное значение результата наблюдения (измерения) ;

- максимальное значение результата наблюдения (измерения).

3) Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношения ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

После построения гистограммы необходимо подобрать теоретическую кривую распределения, которая, выражая все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.

Определение аналитического вида кривой распределения сводится к выбору таких значений его параметров, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и статистическим распределением (гистограммой).

Практика электрических измерений показывает, что результаты наблюдений имеют, как правило, нормальный закон распределения. За математическое ожидание в этом законе принимается X, а за дисперсию - :

, (1.3)

. (1.4)

где -результаты наблюдений;

N – количество наблюдений.

Проверка гипотезы о том, что полученное статистическое распределение подчиняется нормальному закону распределения, проводится путем вычисления величины

(1.5)

где - длина интервала;

r - число интервалов;

Рнi – теоретическое значение плотности распределения в середине i-го интервала, вычисленное по выражению (1.5); ее сравнении с табличным, значением , ( - коэффициент Пирсона, зависящий от уровня значимости q и числа степеней свободы k = r-1). В том случае, если

£ , (1.6)

то расхождение между статистическим распределением и теоретической кривой распределения несущественно, т.е. гипотеза верна.

В противном случае -

> - (1.7)

гипотеза отвергается.

Таким образом, методика построения гистограммы распределения результатов наблюдений и проверка гипотезы о том, что данное распределение подчиняется нормальному закону, включает в себя следующее:

1 Поиск минимального и максимального значений результатов наблюдений Х.

2 Разбиение всего диапазона изменения результатов наблюдений на r интервалов в зависимости от количества N набпюдений (см. табл. 1).

3 Нахождение числа значений результатов измерений (частот m ) из общего N, попавших в каждый i-ый интервал,i=1,r.

4 Определение частостейР = .

5 Построение гистограммы в осях Х- Рi (либоm ) считая, что Р на i-ом интервалеconst, с учетом изложенных ранее рекомендаций относительно масштабов.

6 Построение теоретической кривой распределения в этих же осях координат по вычисленным точкам в серединах интервалов.

7 Вычисление “меры” по выражению (1.5) данного приложения.

8 Вычисление числа степеней свободы k.

9 Определение по таблице 3, задавшись уровнем значимости q и сопоставлением с вычислением по п.7.

Таблица 2

Значение коэффициента для различных доверительных вероятностей

(распределение Стьюдента )

Р п	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	0,158	0,325	0,510	0,727	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,65	636,6
	0,142	0,289	0,445	0,617	0,916	1,061	1,336	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,59
	0,137	0,277	0,424	0,584	0,765	0,878	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,94
	0,134	0,271	0,414	0,569	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
	0,132	0,267	0,408	0,559	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	6,859
	0,131	0,265	0,404	0,553	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
	0,130	0,263	0,402	0,549	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
	0,130	0,262	0,399	0,546	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
	0,129	0,261	0,398	0,543	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
	0,129	0,260	0,397	0,542	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
	0,129	0,260	0,396	0,540	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,103	4,487
	0,128	0,259	0,395	0,539	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
	0,128	0,259	0,394	0,538	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,850	3,012	4,221
	0,128	0,258	0,393	0,537	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
	0,128	0,258	0,393	0,536	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
	0,128	0,258	0,392	0,535	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
	0,127	0,257	0,392	0,534	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
	0,127	0,257	0,392	0,534	0.688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,103	2,552	2,878	3,922
	0,127	0,257	0,391	0,533	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
	0,127	0,257	0,391	0,533	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
	0,127	0,257	0,391	0,532	0,686	0,859	01,63	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819
	0,127	0,256	0,390	0,532	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,792
	0,127	0,256	0,390	0,532	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,767
	0,127	0,256	0,390	0,531	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
	0,127	0,256	0,390	0,531	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,725
	0,127	0,256	0,390	0,531	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,707
	0,127	0,256	0,389	0,531	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,690
	0,127	0,256	0,389	0,530	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,674
	0,127	0,256	0,389	0,530	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
	0,127	0,256	0,389	0,530	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,646
	0,126	0,255	0,388	0,529	0,681	0,851	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,551
	0,126	0,254	0,387	0,527	0,679	0,848	1,046	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,460
	0,126	0,254	0,386	0,526	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,373
∞	0,126	0,253	0,385	0,524	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291

Таблица 3

Интегральная функция - распределение Пирсона. Значения для различных k и Р

k							Р
	0,01	0,02	0,05	0,10	0,20	0,30	0,50	0,70	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99
	0,00015	0,0006	0,00393	0,0158	0,0642	0,148	0,455	1,074	1,642	2,706	3,841	5,412	6,635
	0,0201	0,0404	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,408	3,219	4,605	5,991	7,824	6,210
	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,366	3,665	4,642	6,251	7,815	9,837	11,345
	0,297	0.429	0,711	1,064	1,649	2,195	3,357	4,878	5,989	7,779	9,488	11,668	13,277
	0,554	0,752	1,145	1,610	2,343	3,000	4,351	6,064	7,289	9,236	11,070	13,388	15,086
	0,872	1,134	1,635	2,204	3,070	3,828	5,348	7,231	8,558	10,645	12,592	15,033	16,812
	1,239	1,564	2,167	2,833	3,822	4,671	6,346	8,383	9,803	12,017	14,067	16,622	18,475
	1,646	2,032	2,733	2,490	4,594	5,527	7,344	9,524	11,030	13,362	15,507	18,168	20,090
	2,088	2,532	3,325	4,168	5,380	6,393	8,343	10,656	12,242	14,684	16,919	19,679	21,666
	2,558	3,059	3,940	4,865	6,179	7,267	9,342	11,781	13,442	15,987	18,307	21,161	23,209
	3,053	3,609	4,575	5,578	6,989	8,148	10,341	12,899	14,631	17,275	19,675	22,618	24,725
	3,571	4,178	5,226	6,304	7,807	9,034	11,340	14,011	15,812	18,549	21,026	24,054	26,217
	4,107	4,765	5,982	7,042	8,634	9,926	12,340	15,119	16,985	19,812	22,362	25,472	27,688
	4,660	5,368	6,571	7,790	9,467	10,821	13,339	16,222	18,151	21,064	23,685	26,873	29,141
	5,229	5,985	7,261	8,547	10,307	11,721	14,339	17,322	19,311	22,307	24,996	28,259	30,578
	5,812	6,614	7,962	9,312	11,152	12,624	15,338	18,418	20,465	23,542	26,296	29,633	32,000
	6,408	7,255	8,672	10,085	12,002	13,531	16,338	19,511	21,615	24,769	27,587	30,995	33,409
	7,015	7,906	9,390	10,865	12,857	14,440	17,338	20,601	22,760	25,989	28,869	32,346	34,805
	7,633	8,567	10,117	11,651	12,716	15,352	18,338	21,689	23,900	27,204	30,144	33,687	36,191
	8,260	9,237	10,851	12,444	14,578	16,266	19,337	22,775	25,038	28,412	31,410	35,020	37,566
	8,897	9,915	11,591	13,240	15,445	17,182	20,337	23,858	26,171	29,615	32,671	36,343	38,932
	9,542	10,600	12,338	14,041	16,314	18,101	21,337	24,939	27,301	30,813	33,924	37,659	40,289
	10,196	11,293	13,091	14,848	17,187	19,021	22,337	26,018	28,429	32,007	35,172	38,968	41,638
	10,856	11,992	13,848	15,659	18,062	19,943	23,337	27,096	29,553	33,196	36,415	40,270	42,980
	11,524	12,697	14,611	16,473	18,940	20,867	24,337	28,172	30,675	34,382	37,652	41,566	44,314
	12,198	13,409	15,379	17,292	19,820	21,792	25,336	29,246	31,795	35,563	38,885	42,856	45,642
	12,879	14,125	16,151	18,114	20,703	22,710	26,336	30,319	32,912	36,741	40,113	44,140	46,963
	13,565	14,847	16,928	18,939	21,588	23,647	27,336	31,391	34,027	37,916	41,337	45,419	48,278
	14,256	15,574	17,708	19,768	22,475	24,577	28,336	32,461	35,139	39,087	42,557	46,693	49,588
	14,953	16,306	18,493	20,599	23,364	25,508	29,336	33,530	36,250	40,256	43,773	47,962	50,892

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Дата добавления: 2015-04-30