Математические модели и характеристики погрешностей

От формы выражения

Классификация погрешностей в зависимости

В зависимости от формы выражения различают следующие виды погрешностей:

а) Абсолютная погрешность определяется как разность результата измерения х от истинного или действительного значения:

D= х-х_ист

или

D = х-х_д.

Выражается в единицах измеряемой величины.

Пример. При измерении длины детали l получен ряд значений: l₁ = 10,55 мм; l₂ = 10,57 мм, …, l_п = 10,56 мм; вычислено среднее значение

l_ср = 10,56мм.

Погрешности:

D l₁ = l₁ - l_ср = 10,55 мм - 10,56 мм = - 0,01 мм;

D l₂= l₂ - l_ср = 10,57мм - 10,56 мм=+ 0,01 мм;

………………………………………………..

D l_п = l_n - l_ср = 10,56 мм - 10,56 мм = 0,00

являются абсолютными погрешностями.

б) Относительная погрешность- это погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения (D) к действительному значению измеряемой величины (х_д):

d = ± D / х_д

или

d = ± D / х_д × 100%

Пример. Имеем действительное значение длины детали l= 10,00 мм и абсолютную погрешность D l =0,01 мм. Относительная погрешность

d= D l / l = 0, 001 = 1 • 10 ^-3

или

d= D l / l = 0, 001 • 100 = 0,1 %.

в) Приведенная погрешность - это погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения (D)к нормированному значению измеряемой величины (х_н):

g = ± D / х_н

Например, х_н = х_мах , где х_мах - максимальное значение измеряемой величины.

К сожалению, случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем применения соответствующих способов и измерений и методов обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал).

Пример 1. При п — кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера на световом табло цифрового измерительного прибора в случайном порядке появлялись числа x_i, представленные в первой графе табл. 1.

Таблица 1.

xi	mi	p(xi)	F(xi)
90,10		1/100= 0,01	0,01
90,11		2/100= 0,02	0,01+ 0,02 = 0,03
90,12		5/100=0,05	0,03 + 0,05 = 0,08
90,13		10/100=0,10	0,08 + 0,1 = 0,18
90,14		20/100=0,20	0,18 + 0,2 = 0,38
90,25		24/100= 0,24	0,38 + 0,24 = 0,62
90,16		19/100= 0,19	0,62 + 0,19 = 0,81
90,17		11/100= 0,11	0,81 + 0,11 = 0,92
90,18		5/100=0,05	0,92 + 0,05 = 0,97
90,19		2/100= 0,02	0,97 + 0,02 = 0,99
90,20		1/100 = 0,01	0,99 + 0,01 = 1,00

Каждое x_i-oe число появилось m_i- раз.

Что представляет собой отсчет при таком измерении?

Решение. Ни одно из чисел в первом столбце таблицы, взятое в отдельности, не является отсчетом. Отсчет характеризуется всей совокупностью этих чисел с учетом того, как часто они появлялись. Принимая частость m_i/n каждого x_i-го числа за вероятность его появления р(х_i),заполним третий столбец в табл. 1. В совокупности с первой это даст нам плотность распределения вероятности отсчета, представленное таблично. Его же можно представить графически так, как это показано на рис. 4. А можно поступить и по другому. Проставим в четвертой графе табл. 1 вероятности того, что на табло измерительного прибора появится число, меньшее или равное тому, которое значится в первом столбце. В совокупности с первым столбцом это даст нам представленную таблично функцию распределения вероятности F(x_i) отсчета. Функция F(x) показывает вероятность того, что отдельный результат измерений будет меньше ее аргумента. Графически она выглядит так, как это показано на рис.5.

Как плотность распределения вероятности p ( х_i), так и функция распределения вероятности F(x_i) являются исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов любой конструкции.

Пример 2. При n-кратном независимом измерении одной и той же ФВ постоянного размера аналоговым измерительным прибором. Стрелка измерительного прибора в случайной последовательности по т раз останавливался на каком-то делении шкалы:

Деление шкалы т

0,10.. 0,11 1

0,11.. 0,12 2

0,12... 0,13 6

0,13... 0,14 11

0, 14. 0,15 19

0.15 … 0,16 23

0,16 … 0,17 20

0,17 … 0,18 10

0,18 … 0,19 5

0,19 … 0,20 3

Что представляет собой отсчет при таком измерении?

Решение. Принимая деления шкалы за основания, построим на них прямоугольники с высотами, равными отношению частостей m/n к цене деления шкалы Dx (в данном случае безразмерной). Получившаяся фигура, показанная на рис. 6,называется гистограммой.

Р(х)

0,1 0,2

Рис. 6. Гистограмма.

Гистограмма является исчерпывающим эмпирическим описанием отсчета у аналоговых измерительных приборов любой конструкции.

Если бы была возможность увеличивать n, то в пределе при n ® µ и Dх ® 0 полигон перешел бы в кривую плотности распределения вероятности отсчета р(х), показанную на рис. 7.

Рис.7. Плотность распределения вероятности отсчета у аналогового измерительного прибора.

Плотность распределения вероятности р(х) и функция распределения вероятности F(х) служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической статистики.

Дата добавления: 2015-04-30