Анализ участка схемы с последовательным соединением и - элементов

С помощью рассмотренных элементов можно изобразить линейную схему замещения любого электротехнического устройства. Например, катушку индуктивности на достаточно низкой частоте синусоидального тока можно представить следующей схемой замещения.

Рис. 14.

Допустим известно напряжение на зажимах катушки индуктивности

.

(Положим ψ _u =0), а также сопротивление R _к и индуктивность L _к. Необходимо определить остальные параметры режима её работы. Согласно второго закона Кирхгофа для данной цепи можем записать уравнение для мгновенных значений напряжений:

(61)

или

. (62)

Из соотношения (62) видно, что для определения i (t) необходимо решить дифференциальное уравнение. Анализ можно упростить, если перейти к символическому методу расчета такого участка схемы. В комплексной форме уравнение (61) будет иметь вид

. (63)

Согласно (33) и (47) это уравнение можно записать

. (64)

Поскольку элементы в схеме соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток. Тогда

. (65)

Уравнение (61) связывает общее напряжение, приложенное к этой цепи, с током, протекающим в ней. Т. е. (65) есть закон Ома для данной цепи в комплексной форме. Величина:

(66)

измеряется (условно) в Омах и называется полным комплексным сопротивлением участка этой цепи. Эту величину можно интерпретировать в виде векторов на комплексной плоскости.

+ j

+1

φ

Рис. 15.

Действительная часть комплексного сопротивления z

называется активным сопротивлением цепи. Мнимая её часть:

называется модулем комплексного сопротивления -элемента. Треугольник представленный z и её составляющими на рис.15 носит название треугольника сопротивлений. Соотношение (66) определяет алгебраическую форму представления комплекса z. В расчетах получила распространение показательная форма представления z

, (67)

где носит название модуля полного комплексного сопротивления или полного сопротивления участка цепи, измеряется в Омах; носит название аргумента комплекса или фазы полного комплексного сопротивления , измеряется в угловых градусах или в радианах. Для сторон треугольника (рис.15) справедливы соотношения

.

С учётом (63) можно определить вектор из (65):

(68)

x_L > 0 для линейных элементов. Тогда φ > 0 и из (68) видно, что вектор тока в такой цепи отстаёт от вектора на угол 0<φ<90º. Определив из (68) вектор , можно определить падение напряжения на каждом элементе, используя ранее установленные формулы закона Ома для этих элементов

; (69)

. (70)

Построим векторную диаграмму (рис. 16). Построение, как было сказано ранее, начинаем с выбора масштаба по току m_i (А/см) и напряжению m_u (В/см). Определим вектор заданного напряжения. Его модуль , фаза ψ _u = 0, т. е. вектор располагается вдоль оси действительных чисел (+ 1). Откладываем от т.0 в положительном направлении оси + 1отрезок длиной U/m_u (см) и его конец отмечаем стрелкой. Вектор построен.

N

+1

+90º

M

K

+ j

Рис. 16.

Далее строим вектор тока . Этот вектор, как было установлено, отстаёт от вектора на угол φ. Причём 0<φ<90º. Поэтому в IV четверти координатной плоскости проводим луч 0М под углом φ к оси + 1. На этом луче от точки 0 откладываем отрезок (см). Его конец отмечаем стрелкой. Вектор построен. Строим вектор . Как было установлено ранее, ток через R -элемент и падение напряжения на нём совпадают по фазе. Это подтверждают соотношения (68) и (69). Для векторной диаграммы это означает, что вектора совпадают по направлению. Поэтому на том же луче 0М от точки 0 откладываем отрезок, равный (см), его конец отмечаем стрелкой. Вектор построен. Наконец, строим вектор . Ранее было установлено, что падение напряжения на L -элементе опережает ток через этот элемент по фазе на 90º. Это подтверждают соотношения (68) и (70). Для векторной диаграммы данный ввод означает, что вектор должен быть перпендикулярен вектору и направлен в сторону оси + 1 (поскольку разность фаз между и составляет +90º, а за положительное направление при повороте векторов в электротехнике принято направление против часовой стрелки). Из конца вектора (точка К на рис. 16) восстанавливаем перпендикуляр к лучу 0М в направлении оси + 1. На перпендикуляре КN от точки К откладываем отрезок длиной, равной (см). Конец этого отрезка отмечаем стрелкой. Вектор построен. В случае верного построения всех векторов на данной диаграмме, конец вектора совпадает с концом вектора . Т. е. сумма векторов и равна вектору , что является геометрической интерпретацией 2-го закона Кирхгофа для данной цепи (63).

Рассмотренные вектора , , образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Для сторон этого треугольника справедливы соотношения:

. (71)

В заключение проанализируем энергетические процессы, протекающие в этой цепи. Как было установлено, интенсивность энергетических процессов, протекающих на участке цепи с R -элементом, можно характеризовать активной мощностью:

, (72)

а интенсивность процессов, протекающих на участке цепи с L -элементом – реактивной мощностью:

. (73)

Поскольку в данной цепи включён R -элемент, то часть энергии источника питания будет безвозвратно потребляться на R -элементе. В то же время из-за наличия L -элемента в этой цепи будет происходить непрерывный обмен (с частотой 2ω) энергией (циркуляция энергии) между магнитным полем L -элемента и источником питания. Для характеристики общего энергетического режима цепи вводят понятие о полной мощности.

Определим её величину. Из (71) и (72) можно записать

(74)

(75)

Возведём в квадрат (70) и (71) и сложим полученные результаты

(76)

или

, (77)

где S – полная мощность этого участка цепи, измеряемая в вольтамперах (ВА).

Можно записать соотношение между полной мощностью и её составляющими в комплексной форме. Для этого каждую сторону треугольника сопротивлений (рис. 15) умножим на . Вновь образованный прямоугольный треугольник (рис. 17) определяет своей гипотенузой полную мощность, а катетами – активную и реактивную мощности. Данный треугольник называется треугольником мощностей. Его стороны связаны соотношением:

. (78)

S – полная комплексная мощность данного участка цепи. Её модуль

.

+ j

+1

Рис. 17.

Полная мощность и её составляющие измеряются единицами мощности одинакового масштаба. Однако для того, чтобы подчеркнуть разную физическую природу энергетических процессов, интенсивность которых они оценивают, эти единицы измерения называют по-разному:

Треугольники сопротивлений (рис. 15), напряжений (рис. 16) и мощностей (рис.17) подобны. Из этого, в частности, следует, что

. (79)

Предоставляем студентам самостоятельно провести аналогичный анализ для участка цепи, содержащего последовательное соединение R и C-элементов.

Дата добавления: 2015-05-06