К результату мы придем

И таким простым путем

Катеты в квадрат возводим,

Теорема Пифагора

Значение её состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора, которая является важнейшей теоремой геометрии.

Если дан нам треугольник,

И при том с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Сумму степеней находим

ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и c (рис. 9 а).

Докажем, что c² = a² + b². Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b, так как показано на рисунке (рис. 9 б).

Площадь такого квадрата со стороной a + b равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна ab, и квадрат со стороной с, поэтому

.

Таким образом, (a + b)² =2ab + c², откуда c² = a² + b².

Что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ 1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС². Так как ВС²>0, то АС²<АВ, То есть АС<АВ.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для любого острого угла α cosα <1.

ДОКЗАТЕЛЬСВО. По определению косинуса cosα = . Но в следствии 1 было доказано, что АС<АВ, значит, дробь меньше 1.

Прямоугольные треугольники, у которых стороны выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn; b=k(m²-n²); c=k(m²+n²), где k, m и n - натуральные числа, такие, что m>n. Треугольники, со сторонами, длины которых равны 3, 4, 5 называются египетскими треугольниками, т. к. они были известны ещё древним египтянам.

Обратная к теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть в треугольнике ABC AB² = AC² + BC². Докажем, что угол C - прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁B₁C₁ с прямым углом C₁, у которого A₁C₁ = AC и B₁C₁ = BC. По теореме Пифагора A₁B₁²=A₁C₁²+B₁C₁², и значит, A₁B₁² = AC² +BC². Но AC² + BC² = AB² по условию теоремы. Следовательно, A₁B₁² = AB², откуда A₁B₁ = AB. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам, поэтому < C = < C₁, то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-05-06