Логические функции и логические элементы

Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Логический элемент - это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию.

Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) - логическая функция, она может быть задана таблицей, которая называется таблицей истинности.

Число строк в таблице - это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно 2ⁿ, где n - число переменных.

Число различных функций n переменных равно 2^{2^n}.

Основными логическими функциями являются:

- логическое отрицание (инверсия)

Y = [pic];

- логическое сложение (дизьюнкция)

Y = X1 + X2 или Y = X1 V X2;

- логическое умножение (коньюнкция)

Y = X1 (X2 или Y = X1 (X2.

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

- функция равнозначности (эквивалентности)

Y = X1 (X2 + [pic] или Y = X1 (X2;

- функция неравнозначности (сложение по модулю два)

Y = X1 ([pic] + [pic](X2 или Y = X1 [pic] X2;

- функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)

Y = [pic];

- функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)

Y = [pic];

В теории переключательных функций доказано, что любую логическую функцию можно реализовать с помощью лишь трех элементарных логических функций:
логического отрицания (инверсии) – функции НЕ;

логического сложения (дизъюнкции) – функции ИЛИ;

логического умножения (конъюнкции) – функции И.

Аппаратно эти функции реализуются в виде цифровых схем – логических элементов. Ниже приведены словесные описания, таблицы истинности, алгебраическая форма записи элементарных функций и условные графические изображения соответствующих логических элементов (для простоты приведены функции ИЛИ, И двух аргументов, хотя реально число аргументов может быть и больше).

2.2.1. Функция НЕ

Алгебраическая форма:
Словесное описание:	“ Y есть не Х ”
Таблица истинности:
Условное графическое изображение:

Аппаратно элемент НЕ реализуется в виде инвертора – усилительного каскада, работающего в ключевом режиме (рис. 2.1).

а б в

Рис. 2.2. Схема простейшего инвертора (а); состояние высокого выходного уровня (б); состояние низкого выходного уровня (в)

2.2.2. Функция ИЛИ

Алгебраическая форма:	y = x 1+ x 2+...
Словесное описание:	“ y есть х 1 или х 2 или...”
Таблица истинности:
Условное графическое изображение:

Функция ИЛИ принимает значение 1, если хотя бы один аргумент равен 1. Аппаратно элемент ИЛИ может быть реализован на пассивных ключевых элементах (рис. 2.3).

а б в
Рис. 2.3. Схема элемента ИЛИ (а); состояние высокого выходного уровня;

высокий уровень хотя бы на одном входе (б); состояние низкого выходного уровня (в)

2.2.3. Функция И

Алгебраическая форма:	y = x 1^ x 2^...= x 1× x 2×...
Словесное описание:	“ y есть х 1 и х 2 и...”
Таблица истинности:
Условное графическое изображение:

Функция И принимает значение 0, если хотя бы один аргумент равен 0. Элемент И также может быть реализован на пассивных элементах (рис.2.4).

а б в
Рис.2.4. Схема элемента И (а); состояние низкого выходного уровня;низкий уровень хотя бы на одном входе (б); состояние высокого выходного уровня (в)

Дата добавления: 2015-05-06