Методы расчета электрических цепей постоянного тока

3.1. Законы Кирхгофа

Как известно, для любой электрической цепи справедливы законы Кирхгофа для токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю

(3.1)

Узлом в электрической цепи называется место соединения трёх и более ветвей, место соединения двух ветвей называется устранимым узлом. В (3.1) ток берется со знаком плюс, если ток втекает в узел, и со знаком минус, если вытекает.

Ветвью называется участок цепи с последовательным соединением элементов. Замкнутым контуром цепи называется путь по ветвям цепи, который начинается и заканчивается в одном и том же узле.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма ЭДС всех источников в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах того же контура

(3.2)

Для составления уравнения необходимо задать направление обхода контура: по направлению часовой стрелки либо против часовой стрелки. В (3.2) ЭДС и напряжения берутся со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением обхода контура, если не совпадают, то со знаком минус. Система независимых контуров составляется так, что в контур включаются только ветви с неизвестными токами, рекомендуется, чтобы ветвь входила в контур только один раз, а в каждый последующий контур должна входить хотя бы одна ветвь с неизвестным током, не вошедшая в предыдущие контуры.

Рис. 3.1

Для расчетов всех неизвестных токов в схеме составляется система уравнений Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа составляется n₁ = q - 1 уравнений, где q – число узлов в схеме. По второму закону Кирхгофа – n₂ = р - q +1 уравнений, где р – число ветвей в схеме с неизвестными токами. Значение n₂ соответствует числу независимых контуров схемы.

Так для схемы рис. 3.1: q = 6, p = 5, n₁ = 5 и n₂ = 3.

Для схемы рис 3.1 системы уравнений имеют вид:

(3.3)

Решая систему уравнений (3.3), можно определить токи I₁…I₈.

3.2. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет определить токи в ветвях схемы по закону Ома, исходя из предварительно найденных потенциалов узлов, причем потенциал одного из узлов задаётся нулевым, а для определения потенциалов остальных узлов составляется система уравнений:

(3.4)

где G₁₁,G₂₂,…,G_NN - суммы проводимостей всех ветвей, соответственно подходящих к первому, второму и N узлу; G₁₂,G₂₁,…,Gij (i ¹ j) - суммы проводимостей всех ветвей, находящихся между узлами i и j; I₁₁, I₂₂,…, I_NN - узловые токи для первого, второго… и N узла. Узловой ток Ijj для j узла определяется соотношением

(3.5)

где - алгебраическая сумма отношений ЭДС к сопротивлению ветвей, подходящих к j узлу; - алгебраическая сумма токов источников тока, подходящих к j узлу. В (3.5) знак плюс ставится, если ЭДС или источник тока направлен к узлу j, а минус – от узла.

Система уравнений общего вида (3.4), составленная для схемы рис. 3.1, представляется следующей системой уравнений для определения потенциалов φ₂ и φ₃:

(3.6)

при этом φ₀ = φ₄ = φ₅ = 0, φ₁ = φ₂.

Для определения токов составляются соотношения по закону Ома (5):

3.3. Метод контурных токов (МКТ)

В методе контурных токов реализуется прин­цип использования промежуточных переменных, число которых меньше, чем число искомых переменных.

Осуществляется переход от реальных токов рассчитываемой цепи (их число равно р) к кон­турным токам (их число существенно меньше, см. формулу (3.7)).

Контурный ток – это условный расчетный ток, имеющий одина­ковое значение на всех участках заданного контура.

В электричес­кой цепи, содержащей источник тока, последние преобразуют для расчета в источник ЭДС или учитывают как дополнительный контурный ток, не имеющий замкнутого контура.

Для контура с ис­точником тока уравнения не составляются.

При определении кон­турных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого взаимно независимого контура и решают их относи­тельно контурных токов. Расчетное число уравнений по МКТ определяется числом вза­имно независимых контуров цепи и составляет

Nмкт = р - q +1, (3.7)

q – число узлов.

Для перехода от контурных токов к реальным используют уравнения, составленные по следующим правилам: токи наруж­ных (не имеющих смежных контуров) ветвей равны контурным токам, а токи смежных ветвей равны алгебраической сумме контурных токов, проходящих по этим ветвям.

Применим МКТ для электрической цепи (рис. 3.2а). Для рассматриваемой цепи

p = 5; q=3; Nтоков = 5; Nмкт = 5-2=3.

Рис. 3.2. Пример применения метода контурных токов:

а — схема рассчитываемой цепи; б — мостовая схема; в — контуры мостовой схемы; г — параллельно-последовательная схема.

Для каждого взаимно независимого контура цепи введем соответствующий контурный ток и выберем в качестве условно-положительного направления токов направление по часовой стрелке,

По второму правилу Кирхгофа для контурных токов рассматриваемой цепи имеем:

Правило составления контурных уравнений: алгебраическая сум­ма ЭДС в контуре равна произведению контурного тока данного контура на сумму всех сопротивлений контура, минус произведе­ния контурных токов соседних контуров на соответствующие со­противления смежных ветвей.

Для любой электрической цепи, имеющей N контуров, систе­му уравнений относительно контурных токов можно записать в канонической форме:

где R _{j j} – собственное сопротивление j-то контура, j = 1, 2, 3;

R_jk – взаимные сопротивления j-то и к-го контуров, k = I, II, III;

ΣЕк – контурная ЭДС k -го контура.

Контурная ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС k -то контура.

Для цепи, приведенной на рис. 1.25а, собственные сопротивления контуров равны:

а также взаимные:

Суммарные значения ЭДС контуров составят соответственно:

С учетом выше изложенных правил уравнения цепи будут иметь следующий вид:

(3.8)

Решив систему (3.8) найдем контурные токи:

, где

От контурных токов переходим к реальным искомым токам:

3.4. Метод и принцип наложения

Для линейных цепей любой ток или напряжение на участке цепи могут быть определены суммой составляющих, рассчитанных отдельно от действия каждого источника или групп источников. Такое свойство линейных цепей называется принципом суперпозиций или принципом наложения.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

В качестве примера рассмотрим схему, приведенную на рис. 3.3. Определим токи I₁ и I₅, используя принцип наложения

где составляющие рассчитываются от действия источника ЭДС –E₁, а составляющие и - от действия источника тока - I_K.

Схема для определения составляющих от действия источника ЭДС представлена на рис. 3.4а. При составлении этой схемы ветвь с источником тока разрывается (так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности). На рис. 3.4б изображена схема для определения составляющих от действия источника тока. При составлении этой схемы ЭДС источника полагается равной нулю, и в ветви остаётся внутреннее сопротивление источника, которое в данном примере равно нулю.

Составляющие токов можно определить по закону Ома:

3.5. Метод эквивалентного генератора

В методе эквивалентного генератора используется теорема об эквивалентном генераторе. В соответствии с этой теоремой любая линейная цепь относительно выбранной ветви может быть представлена эквивалентным источником ЭДС - E_ЭГ и эквивалентным сопротивлением - R_ЭГ.

Рис. 3.5

ЭДС генератора - E_ЭГ равна напряжению, возникающему на зажимах выбранной ветви, если её сопротивление положить равным бесконечности (так называемый холостой ход генератора). Сопротивление генератора R_ЭГ равно входному сопротивлению схемы R_BX относительно зажимов выбранной ветви. При расчете входного сопротивления - R_BX, ЭДС и ток источников тока полагаются равными нулю, а в схеме остаются внутренние сопротивления источников (для идеального источника ЭДС - R_BH = 0, а источника тока - R_BH = ¥).

Рис. 3.6

В качестве примера рассмотрим схему рис. 3.3, где определим ток в сопротивлении R₃. Для расчета тока выделим ветвь с сопротивлением R3 (рис. 3.5а) и определим параметры эквивалентного генератора E_ЭГ и R_ЭГ (рис. 3.5б).

ЭДС эквивалентного генератора можно определить по законам Кирхгофа для схемы рис. 3.6, а, как E_ЭГ = U_XX Определим напряжение U_XX

Сопротивление эквивалентного генератора можно определить как входное сопротивление R_ЭГ = R_BX по схеме рис. 3.6б

Окончательно можно определить ток I₃ как

3.6. Примеры решения задач

3.1. Для электрической цепи постоянного тока (рис.3.7) определить токи в ветвях. ЭДС источников и сопротивления резисторов известны. Внутренние сопротивления источников равны нулю.

Рис.3.7

Решение. Схема содержит два узла при трех неизвестных токах. Поэтому по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение:

Число недостающих уравнений, составленные по второму закону Кирхгофа – два. Условное положительное направление обхода Контуров выберем по часовой стрелке. Для левого замкнутого контура с учетом положительных направлений токов и ЭДС уравнение по второму закону будет:

Аналогично уравнение по второму закону Кирхгофа для правого замкнутого контура:

Решение полученной системы трех уравнений позволяет определить неизвестные величины.

3.2. Для электрической цепи постоянного тока (рис.3.8) определить токи в ветвях. ЭДС источников, сопротивления резисторов и внутренние сопротивления источников известны.

Рис. 3.8

Решение. Электрическая цепь имеет два узла, поэтому уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1 имеет вид:

Для верхнего замкнутого контура в соответствии с принятым направлением обхода контуров уравнение по второму закону Кирхгофа:

Аналогично для нижнего замкнутого контура имеем:

.

Совместное решение полученной системы трех уравнений позволяет определить неизвестные величины.

3.3. Для электрической цепи постоянного тока (рис.3.9) показания амперметра I₅ известно. Определить токи I₁…I₄ во всех ветвях цепи, пользуясь законами Кирхгофа. Сопротивления резисторов, ЭДС источников известны. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Рис. 3.9

Решение. При заданном включении источников за положительное направление токов принимаем направление, указанное на рисунке. Схема содержит три узла и пять ветвей. В соответствии с этим состав-ляем два уравнения по первому закону Кирхгофа и три – по второму закону Кирхгофа.

Для узлов 1 и 2 цепи составляем уравнение для токов по первому закону Кирхгофа:

По второму закону Кирхгофа уравнение для левого замкнутого контура с ЭДС Е₁ и Е₂:

Для среднего замкнутого контура с ЭДС Е₂ и Е₃:

Уравнение для правого замкнутого контура с амперметрами в ветви:

Совместное решение системы уравнений позволяет определить искомые величины.

3.7. Задачи для самостоятельного решения

1. Пользуясь законами Ома и Кирхгофа определить внутреннее сопротивление R_вн источника питания электрической цепи постоянного тока и напряжение U₂ на резисторе R₂ (рис.3.10), если дано: Е =70В; U =30В; R₁ =10Ом; R₂ =38Ом.

Рис. 3.10

2. Ток в электрической цепи постоянного тока (рис.3.11) I =1А, ЭДС источника питания Е₁ =48В, сопротивление резисторов R₁ =120Ом, R₂ =10Ом. Внутренние сопротивления источников одинаковы и равны R_вн1 = R_вн2 =1Ом. Определить величину и направление ЭДС источника питания Е₂.

Рис. 3.11

3. Определить токи I₁, I₂, I₃ электрической цепи постоянного тока (рис.3.12), если сопротивления резисторов: R₁ =6Ом; R₂ = R₃ =4Ом. ЭДС источников питания: Е₁ =22В; Е₂ =2В, а внутреннее сопротивление ис-точников: R_вн1 = R_вн2 =1Ом.

Рис.3.12

3.8. Контрольное задание

Для электрической цепи постоянного тока (рис.3.13), используя данные, приведенные в таблице 3.1, определить токи I₁…I₉ в ветвях резисторов R₁…R₉. ЭДС и напряжения источников, сопротивления резисторов и положения выключателей для соответствующих вариан-тов задания приведены в таблице 3.1. Внутренним сопротивлением ис-точников пренебречь.

Рис. 3.13

Таблица 3.1

Величины	Варианты задания
E1, В
Е3, В
Е4, В
U5, В
U6, В
R1, Ом	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2		0,2	0,2	0,2	0,4
R2’, Ом
R2, Ом
Продолжение таблицы 3.1
R3, Ом	0,2
R4, Ом		0,2
R5, Ом			0,4
R6, Ом				0,4
R7, Ом					0,2
R8, Ом	0,8	0,8	0,4	0,4	0,4		1,8	1,9	1,6	0,8
R9, Ом			0,2	0,2	0,4					1,6
Замкнутые выключатели	S2 S3	S2 S4	S2 S5	S2 S6	S2 S7	S3 S4	S3 S5	S3 S6	S3 S7	S4 S5
Продолжение таблицы 3.1
Величины	Варианты задания
E1, В
Е3, В
Е4, В
U5, В
U6, В
R1, Ом	0,2	0,4	0,2	0,2	0,2	0,4	0,2	0,2	0,2	0,4
R2’, Ом
R2, Ом
R3, Ом
R4, Ом							0,2
R5, Ом				0,5				0,4
R6, Ом	0,5								0,4
R7, Ом										0,4
R8, Ом	0,6	0,4	0,2	0,4	0,8	0,8	0,8	0,4	0,2	0,8
R9, Ом	0,5		0,4	0,6	0,4				0,1	0,8
Замкнутые выключатели	S4 S6	S4 S7	S5 S6	S5 S7	S6 S7	S2 S3	S2 S4	S2 S5	S2 S6	S2 S7

Продолжение таблицы 3.1

Величины	Варианты задания
E1, В
Е3, В
Е4, В
U5, В
U6, В
R1, Ом		0,2	0,2		0,4	0,2	0,4	0,5	0,2
R2’, Ом
Продолжение таблицы 3.1
R2, Ом
R3, Ом
R4, Ом
R5, Ом		0,5			0,4
R6, Ом						0,5
R7, Ом
R8, Ом		1,8	1,8	0,4	1,6	0,8	0,6	0,2	0,2	0,5
R9, Ом					1,6	0,5		0,3	0,6	0,5
Замкнутые выключатели	S3 S4	S3 S5	S3 S6	S3 S7	S4 S5	S4 S6	S4 S7	S5 S6	S5 S7	S6 S7

Дата добавления: 2015-05-06