Основные теоретические положения. Рассмотрим последовательный колебательный контур - участок цепи, состоящий из последовательно соединённых элементов: резистора

Рассмотрим последовательный колебательный контур - участок цепи, состоящий из последовательно соединённых элементов: резистора, индуктивности и ёмкости. На вход цепи (рис. 1) подключен источник гармонического напряжения u1(t) = Um sin(t). В такой цепи наблюдается резонанс напряжений.

Рис. 1 Рис. 2

Запишем второй закон Кирхгофа в комплексной форме для амплитудных значений

напряжений

(1)

Уравнение (1) позволяет определить токи и напряжения на элементах цепи.

(2)

где X_L = ωL; X_C = 1/ ωC; X – суммарное реактивное сопротивление ветви;

Z = R + jX = Ze^jφ - комплексное сопротивление ветви; Z – модуль; φ- угол сопротивления.

Из выражения (2) можно определить амплитудное значение тока и его фазу

Im = U_1m/Z(ω), ψ(ω) = -φ(ω),.

Условием резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений

X_L = X_C или ωL = 1/ωC и X=0. При этом условии может быть определена резонансная частота

ω₀ = 1/ (3)

На рис. 2 показана векторная диаграмма напряжений для контура в режиме резонанса. В этом режиме входной ток достигает максимального значения и его амплитудное значение равно I_0m = U_1m/R. Если R является активным сопротивлением проводов катушки, то мощность

P = Rучитывает активные потери мощности в ней. Потери мощности в конденсаторе для низких и средних частот составляют малую величину и в его схеме замещения не учитываются.

Амплитудные значения напряжений на реактивных элементах L и C в режиме резонанса могут значительно превышать входное напряжение

(4)

где r - характеристическое сопротивление последовательного колебательного конура

(5)

Отношение Q = r/R - называется добротностью контура. Для контуров, применяемых в радиоэлектронике, величина Q достигает десятков и сотен единиц.

При анализе частотных свойств контура используют частотные характеристики входного сопротивления - Z_BX (jω) и входного тока - Im(jω), а также комплексные передаточные функции для напряжения на индуктивности K _L (jω) = U_Lm (jω)/U_1m(jω), и напряжения на ёмкости K _C(jω) = U_Cm (jω)/U_1m (jω).

Из (2) получаем частотные характеристики для последовательного колебательного конура.

Зависимости модуля и угла комплексного входного сопротивления от частоты

Рис. 3

На рис. 3.3 представлены частотные характеристики модуля и угла входного сопротивления контура, рассчитанные по формулам (3.6) для различных значений добротности - Q. На графиках видно, что входное сопротивление достигает минимального значения при резонансной частоте Z_BX = Z_МИН = R и максимальное значение при частотах 0 и ∞. Характер входного сопротивления в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ω₀ является емкостным, а в диапазоне ω₀ ≤ω ≤ ∞ - индуктивным.

Рис. 4

Зависимости амплитудного значения входного тока и его фазы от частоты

На рис. 3.4 показаны зависимости амплитудного значения входного тока и его фазы от частоты, рассчитанные по формулам (3.7) для различных значений добротности - Q. Как видно из графиков, ток достигает своего максимального значения при резонансной частоте и нулевого значения при частоте, равной нулю и бесконечности.

Рис. 5

АЧХ и ФЧХ для напряжения на ёмкости

На рис. 5 показаны ЛАЧХ -20lgK_C(ω) и ФЧХ - φ_КС(ω). В качестве выходного напряжения задано напряжение на емкости. Характеристики построены по формулам (8). Выходное напряжение и, следовательно, ЛАЧХ достигают своего максимального значения при резонансе. Максимумы характеристики K_C(ω) при резонансной частоте не совпадают и тем больше, чем ниже добротность Q (рис. 5,а).

Характеристики (6) – (8) удобно строить в зависимости от относительной частоты

от ω_ОТ = ω/ω₀ = f/f₀. В (6) – (8) учитывая характеристическое сопротивление - r и добротность –

получим

Величину называют обобщённой расстройкой. Для резонансного

режима величина ξ = 0. Частотные характеристики чаще строят в функции частоты f или - ω, реже от расстройки - ξ.

С целью оценки уровня искажения сигналов для колебательного контура используют понятие полосы пропускания (П). Полосой пропускания контура называют диапазон частот, в котором АЧХ уменьшается не более чем в 2 раз по сравнению с ее значением при резонансной частоте, что соответствует на ЛАЧХ уменьшению характеристики на –3 дБ (рис. 5,а). Полоса пропускания контура П=ω_Г2 - ω_Г1, где ω_Г1 и ω_Г2- граничные частоты полосы пропускания.

Дата добавления: 2015-05-06