Метод Рунге-Кутта

Построение математической модели

Постановка задачи

С помощью дифференциальных уравнений исследуем процесс электрических колебаний в замкнутой электрической цепи.

Рис.1. Электрическая цепь (структура системы)

По условию нам дана электрическая цепь, состоящая из источника переменного тока, двух резисторов, конденсатора и катушки индуктивности. Известно, что напряжение источника меняется по закону

.

Из законов электротехники:

по законам Кирхгофа

для узла: ; для любого замкнутого контура: ;

; ;

Получаем систему

Решим систему дифференциальных уравнений с помощью метода Рунге-Кутта. Для системы уравнений, разрешённых относительно 1-х производных:

,

Шаг вычислений h, , где Т-область расчёта функций, N- число точек.

Схема решения:

начальные условия:

;

Для полученной системы уравнений: ,

коэффициенты имеют следующий вид:

:

Используя таблицу начальных условий и параметров:

E0	τ	ω	φ	R	r	L	C	t0	I0	U0	h
											0,005

и численный метод Рунге-Кутта, построим графики, характеризующие систему.

Рис.2. График функций

Рис.3. График функций

Рис.4. Фазовый портрет

Рис.5. Фазовый портрет

Рассмотрим поведение системы при различных значениях ёмкости конденсатора, при условии, что остальные параметры останутся неизменными. Пусть .

Рис.6. График функций U(t)

Рис.7. Фазовый портрет .

Рис.8. График функций

Рис.9. Фазовый портрет

На значение силы тока изменение параметра не влияет. Теперь рассмотрим поведение системы при различных значениях индукции соленоида, при условии, что остальные параметры останутся неизменными. Пусть .

Рис.10. График функций U(t)

Рис.11. Фазовый портрет .

Рис.12. Фазовый портрет

Рис.13. График функций

Рассмотрим поведение системы при различных значениях сопротивления , при условии, что остальные параметры останутся неизменными. Пусть .

Рис.14. График функций U(t)

Рис.15. Фазовый портрет .

Рис.16. Фазовый портрет

Рис.17. График функций

Остается рассмотреть поведение системы при различных значениях сопротивления , при условии, что остальные параметры останутся неизменными. Пусть .

Рис.18. График функций U(t)

Рис.19. Фазовый портрет .

Рис.20. Фазовый портрет

Рис.21. График функций

Дата добавления: 2015-05-06