ВВЕДЕНИЕ. Цепь переменного электрического тока представляет собой ряд соединенных между собой в той или иной последовательности элементов

Цепь переменного электрического тока представляет собой ряд соединенных между собой в той или иной последовательности элементов, в которых возбуждаются токи одним или несколькими источниками ЭДС.

Все элементы электрической цепи обладают сопротивлением. Это сопротивление может быть двух видов: активное и реактивное. Если при прохождении тока через элемент происходит только необратимое превращение энергии в теплоту, то его сопротивление называют активным. Если же подобной потери энергии не происходит, сопротивление элемента называют реактивным.

Элемент цепи с активным сопротивлением называется резистором. Реактивным сопротивлением – емкостным и индуктивным – обладают соответственно конденсаторы и катушки индуктивности.

Элементы цепи называются идеальными, если они обладают только одним видом сопротивления – активным, емкостным или индуктивным. Для идеальных элементов справедливы соотношения:

U_R = I R, R = const, (1)

U_C = q /C = (1/C) ∫Idt, С = сonst, (2)

U_L = - Е_S = L dI / dt, L = const, (3)

где R – сопротивление резистора; С – емкость конденсатора; L – индуктивность катушки; U_R, U_L, U_C – напряжения на соответствующих элементах; I – ток через элемент; q – заряд конденсатора; Е_S = ‑ L dI / dt – ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке индуктивности при прохождении через нее переменного тока.

Элементы цепи могут быть линейными и нелинейными. Если сопротивление элемента не зависит от величины тока в цепи или от напряжения на элементе, то такой элемент называется линейным. Электрические цепи, составленные из линейных элементов называются линейными. В линейных цепях электрические процессы описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Этому условию отвечают выражения (1) ‑ (3). Электрические процессы в линейных цепях называются установившимися (стационарными), если закон изменения всех токов и напряжений совпадает с точностью до некоторой постоянной с законом изменения внешней ЭДС, действующей в цепи. Если это условие не выполняется, процессы называются переходными.

При анализе электрических процессов в цепях переменного тока к мгновенным значениям тока можно применять законы Ома и Кирхгофа и другие правила, установленные для постоянного тока, если переменный ток является квазистационарным, т.е. мгновенные значения переменного тока практически одинаковы на всех участках цепи. Это условие выполняется для медленно изменяющегося тока, когда его мгновенное значение не успевает измениться за время распространения электрического процесса вдоль цепи. Если Т – характерное время изменения мгновенного значения тока, а t – время распространения электрического процесса вдоль цепи протяжённостью l со скоростью v (равной по порядку величины скорости распространения электромагнитной волны с = 3×10 ⁸ м/с), то условие квазистацианарности запишется в виде: t << Т.

При дальнейших рассуждениях будем полагать, что все элементы рассматриваемых цепей являются идеальными и линейными. Электрические процессы будем считать установившимися, а переменные токи – квазистацианарными.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, емкости С и индуктивности L (рис. 1). Допустим, что источник переменной ЭДС (генератор) обладает нулевым выходным сопротивлением и создает на входе цепи напряжение U, равное его ЭДС Е. Такое допущение всегда можно сделать, включив выходное сопротивление генератора в состав рассматриваемой электрической цепи.

Гармоническую ЭДС генератора и ток, создаваемый в цепи, можно представить в виде:

Е = Е ₀cos wt, (4)

I = I ₀cos(wt - j), (5)

где w = 2p f = 2p /T – циклическая частота колебаний ЭДС и тока; Т – период колебаний; j – угол сдвига фазы тока относительно фазы ЭДС; Е ₀ – амплитуда ЭДС; I ₀ – амплитуда тока.

Найдем, чему равны амплитуда I ₀ и сдвиг фазы j тока, если известны параметры цепи R, C, L и уравнение для ЭДС (4). Одновременно определим, какой вид имеет модуль полного комплексного импеданса z рассматриваемой цепи, равный отношению амплитуды ЭДС к амплитуде тока: z = E ₀ /I ₀.

На основании второго правила Кирхгофа для контура на рис. 1 можем записать: U_R + U_С = Е_S + Е или

U_R + U_C + U_L = Е, (6)

т.е. сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешней ЭДС, приложенной к контуру.

Учитывая соотношения (1)‑(3), имеем:

. (7)

Подстановка в уравнение (7) выражений (4), (5) и выполнение операций интегрирования и дифференцирования приводит это уравнение к виду:

.

Далее применим следующие тригонометрические соотношения:

, .

Окончательно получим:

. (8)

Из соотношения (8) можно сделать ряд выводов.

Выпишем из этого уравнения выражения для напряжений U_R, U_C, U_L и рассмотрим их совместно с выражением (5) для тока I:

U_R = U _{0 R} cos(wt - j), где U _{0 R} = I ₀ R; ü

U_C = U _{0 C} cos(wt - j -p/ 2), где U _{0 C} = I ₀ / (wC);ý (9)

U_L = U _{0 L} cos(wt - j +p/ 2), где U _{0 L} = I ₀ wL. þ

Сравнивая фазы напряжений U_R, U_C, U_L с фазой тока I, видим, что:

а) напряжение на резисторе U_R совпадает по фазе с током I;

б) напряжение на емкости U_C отстает по фазе от тока I на угол p/ 2;

в) напряжение на индуктивности U_L опережает по фазе ток I на p/ 2.

Далее найдем отношения амплитуд напряжений U _{0 R} , U _{0 C} , U _{0 L} к амплитуде тока I ₀:

U _{0 R} /I ₀ = R;ü

U _{0 C} /I ₀ = 1 / (wC); ý (10)

U _{0 L} /I ₀ = wL. þ

Формулы (10) определяют величины, которые называются соответственно активным, реактивным емкостным и реактивным индуктивным сопротивлениями. Емкостное сопротивление обозначается через Х_С, индуктивное – через Х_L. Из формул (10) следует, что активное сопротивление цепи переменного тока R равно сопротивлению цепи постоянного тока, реактивные же сопротивления равны:

Х_С = 1 / (wС); Х_L = wL. (11)

Перейдем к основной задаче – нахождению выражений, определяющих амплитуду тока I ₀, сдвиг по фазе j тока относительно ЭДС и полное сопротивление z цепи, изображенной на рис. 1.

Уравнение (8) позволяет решить эту задачу, при этом методы решения могут быть различными. Воспользуемся графическим способом представления гармонических колебаний – методом векторных диаграмм. В этом методе гармоническим величинам (напряжениям, токам) сопоставляются вращающиеся векторы. Для этого на плоскости выбирают произвольное начало координат О и проводят ось Х. Изучаемую гармоническую величину изображают вектором, построенным из начала координат. Длина вектора равна (в выбранном масштабе) амплитуде гармонической величины, а угол между вектором и осью Х равен углу начальной фазы.

Вектор равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью w в направлении против часовой стрелки. При этом проекция вектора на ось Х в любой момент времени равна мгновенному значению гармонической величины, изменяющейся со временем по закону косинуса.

В соответствии со сказанным левую часть уравнения (8) можно рассматривать как сумму проекций векторов, изображающих напряжения U_R, U_C, U_L, а правую часть – как проекцию вектора, изображающего суммарное напряжение U = U_R + U_c + U_L. Поскольку при сложении векторов сумма проекций слагаемых равна проекции суммы, то можно найти геометрическую сумму векторов, изображающих напряжения U_R, U_C, U_L, и приравнять эту геометрическую сумму вектору, изображающему напряжение U = Е. Другими словами, вместо алгебраического равенства (8) можно рассматривать векторное равенство:

, (12)

что значительно упрощает нахождение амплитуды I ₀ и сдвига фаз j. На рис. 2 построены векторные диаграммы для момента времени t = 0, соответствующие уравнениям (8) и (12).

Рис. 2

Из рис. 2б следуют соотношения:

Е ₀² = (I ₀ R)² + I ₀² (wL – 1 / (wC))²,

tgj = (wL – 1 / (wC)) /R,

откуда: ; (13)

; (14)

. (15)

Видим, что колебания тока в цепи отстают по фазе от колебаний ЭДС на угол j, зависящий от частоты и определяемый согласно (14). Можно также сказать, что напряжение U во внешней цепи, содержащей последовательно соединенные R, C, L, опережает по фазе ток на угол j, определяемый выражением (14). Полное сопротивление цепи z, в соответствии с (15), также зависит от частоты и может быть записано в виде:

, (16)

где Х = Х_L ‑ X_C – полное реактивное сопротивление цепи.

Из формулы (16) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи складываются геометрически.

Дата добавления: 2015-05-06