Теорема о 1-м замечательном пределе

Односторонние пределы. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

Односторонние пределы

Если у любой сходящейся к точке последовательности все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется левым пределом функции .

Обозначение: .

Если у любой сходящейся к последовательности все ее элементы больше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется правым пределом функции f(x):

Обозначение: .

Утверждение.

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева и они равны .

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Дата добавления: 2015-03-29