Непрерывность функции в точке. Примеры. Свойства непрерывных в точке функций. Теорема о непрерывности сложной функции

Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку , называется непрерывной в этой точке, если

(20.1)

Замечание 1. Таким образом, согласно определению 20.1. предел функции и ее значение в точке равны.

Функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность сходится к .

Преобразуем формулу (20.1):

.

Определение 20.4.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Замечание 2. Определения 20.1-20.4 эквивалентны.

Теорема 20.1.

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда , (если ) также непрерывны в этой точке.

Сложная функция

Определение 20.5

Пусть заданы функции : область определения функции f(x) содержит область значений функции (x).

Тогда определена функция называемая сложной функцией.

Теорема20.1.

Если непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то непрерывна в точке .

Доказательство:

(в силу непрерывности функции).

Также в силу непрерывности функции имеем:

т.е. .

Теорема20.2 (об ограниченности непрерывных функций).

Если функция f(x) непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой f(x) ограничена.

Доказательство:

.

Дата добавления: 2015-03-29