ИДЗ-3. Элементы комбинаторики. а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

б) Решите комбинаторную задачу;

в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.

а) X = 10 P ₄× – ;

б) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Для участия в эстафете от группы требуется выставить команду из двух девушек и двух юношей. Сколькими способами можно сформировать команду?

в) Сколькими способами шесть пассажиров могут сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым?

Решение: 1а) С учетом известных формул комбинаторики (без повторений) для числа перестановок из n элементов:

P_n = n!;

размещений из n элементов по k элементов:

= ;

и сочетаний из n элементов по k элементов:

= ;

проведем необходимые преобразования:

X = 10 P ₄× – = 10×4!× × – = 2×5!× × – 5! =

= 5!×(2× – 1) = 5! = 120.

б) Число способов выбрать для участия в команде двух девушек равно:

= = = 45.

Аналогично, число способов выбрать для участия в команде двух юношей равно:

= = = 15.

Согласно комбинаторному принципу умножения, число способов сформировать команду из двух девушек и двух юношей равно:

n = ´ = 45´15 = 675.

в) Из условия задачи ясно, что в одном вагоне (из пяти) должны разместиться два пассажира, а в остальных четырех вагонах – по одному.

Для удобства будем считать, что вначале в электричку садятся пять человек (из шести), а затем в один из пяти вагонов вторым пассажиром входит оставшийся шестой человек.

Число способов выбрать пять пассажиров из шести составляет = 6. Число способов этим пяти выбранным пассажирам разместиться по одному в пяти вагонах равно числу перестановок из пяти: P ₅ = 5! = 120. Таким образом, число способов пяти пассажирам, отобранным из шести, разместиться по одному в пяти вагонах, равно ´ P ₅ = 6´120 = 720. Наконец, оставшийся шестой человек может сесть в один из пяти вагонов 5 различными способами.

Окончательно, полное число способов шести пассажирам сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым, составляет n = ´ P ₅´5 = 720´5 = 3600.

Ответ: a) X = 120; б) n = ´ = 675; в) n = 5 ´ P ₅ = 3600.

ИДЗ-4. Классическое определение вероятности

Решите задачу на вычисление вероятности, основываясь на ее классическом определении.

Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности.

Решение: Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна

P (A) = ,

где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.

Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр,

n = 4¹⁰ = 2²⁰ = 1048576.

Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: = = 56. Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 3⁵ = 243. Т.о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно

m = ´3⁵ = 56×243 = 13608.

Искомая вероятность события A равна:

P (A) = = 0,013.

Ответ: P (A) = = 0,013.

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)

Дата добавления: 2015-03-29