КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Финансовые ренты в страховании
В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения количественных методов анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты здесь зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты cтраховыми aннуиmеmaми. К страховым, например, относятся все аннуитеты, применяемые в личном страховании. Соответствующие денежные суммы выплачиваются здесь только при жизни (например, пенсии) или, наоборот, смерти застрахованного. Заранее число платежей в таких аннуитетах или их срок остаются неизвестными. Условные аннуитеты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности. Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию (premium). В свою очередь он (или его правопреемники) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления страхового события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия P определяется как P = Sq. Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. В действительности премия обычно превышает величину Sq, так как включает помимо чистой премии и так называемую нагрузку (loading). Последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации.
Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип в страховании жизни при решении важнейшей задачи — расчете тарифной ставки. Напомним, что под тарифной ставкой понимается цена страхования, т.е. цена обязательства уплатить некоторую фиксированную сумму при наступлении страхового случая в расчете на некоторую круглую сумму страховой выплаты (1 тыс. руб., 100 тыс. руб. и т.д.). Пусть, как и выше, P — размер премии, qn — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Речь далее пойдет о нетто-премии, т.е. премии без учета нагрузки. Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму P (пусть премии выплачиваются в начале года), если же это событие наступит во втором году, то общая сумма премий составит 2 P и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит E (q 1 + 2 q 2 +... + nqn). Полученная величина хотя и обобщает все выплаты застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин нарушается принцип временной ценности денег, поскольку премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (т.е. с помощью дисконтирования платежей) находим: Е (А) = P [ q 1 + (1 + v) q 2 + (1 + v + v 2) q 3 +... + (1 + v +... + vn -1) qn ], где v — дисконтный множитель по ставке i. Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq 1 во втором году — Sq 2 и т.д. Математическое ожидание выплат с учетом времени платежа, очевидно, будет равно: E (S) = S (vq 1 + v 2 q 2 +... + vnqn). Исходя из принципаэквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство:
E (S) = Е (А), которое позволяет найти искомое значение нетто-премии и тариф страхования без учета нагрузки. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета премии и тарифа в личном страховании. Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то математическое ожидание суммы премий с учетом их дисконтирования за n лет составит: Е(А) = P [ q + (1 + v) q +... + (1 + v +... + vn -1)] q. В свою очередь математическое ожидание выплат страховых сумм находится как Из равенства математическихожиданий находим размер нетто-премии и тарифной ставки. Математические ожидания Е (А)и E (S)являются основными характеристиками, с которыми имеют дело в страховании. Они, как видим, представляют собой современные стоимости специфических потоков платежей (платежей с учетом вероятностей их выплат). Причем в имущественном страховании часто это постоянные ренты (при постоянстве вероятностей наступления страховых случаев), а в личном страховании— переменные ренты, поскольку фигурирующие здесь вероятности зависят от возраста застрахованного и меняются для него с каждым годом. В практике актуарных расчетов (актуарии — страховые математики) разработаны специальные приемы построения упомянутых выше потоков платежей и расчета их математических ожиданий. Рассмотрим их применительно к некоторым видам личного страхования — на дожитие, страхование жизни и, наконец, пенсионное страхование, коль скоро оно сейчас привлекает всеобщее внимание. До обсуждения проблем построения страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей (life annuity), и их использования в страховых расчетах следует ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях. Таблицы смертности и коммутационные функции. Выше уже было показано, что при разработке страховых потоков платежей необходимы значения вероятностей дожития до определенного возраста или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Систему таких характеристик получают на основе таблицы смертности (mortality table), которая представляет собой числовую модель процесса вымирания некой абстрактной совокупности людей. Основноеее содержание — количества людей каждого возраста (lx), оставшихся в живых из первоначальной совокупности, равной 100 тыс. человек, и число умерших в каждой возрастной группе за год (dx)при некоторых заданных (наблюдавшихся в недавнем прошлом) коэффициентах смертности. Таблицы смертности разрабатываются демографами. В качестве примера приведем фрагмент такой таблицы (мужчины)[4].
Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями: lx +1 = lx - dx; dx = lx x qx, где dx — количество умерших в течение года после возраста х лет; qx — вероятность умереть в течение года после возраста х лет. На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему показателей вероятности дожития, необходимую для создания соответствующих страховых аннуитетов. Определим несколько таких вероятностей. Вероятность прожить по крайней мере еще один год лицу в возрасте х лет равна: Вероятность дожить от возраста х до х + n составляет: где n — число лет предстоящей жизни. Пример 6.1. Вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет составит согласно приведенным в таблице смертности данным 20 P 20 = = 0,92619. По данным таблицы смертности находят и вероятности умереть в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет составит: qx = 1 - px = , ав возрасте от х до х + п: nqx = 1 - nPx = Для сокращения записи страховых аннуитетов и формул, позволяющих быстро получить необходимые расчетные данные, применяют так называемые коммутационные функции (коммутационные числа). Названные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции Dx и Nx:
(6.1) (6.2) где v — дисконтный множитель по ставке i; w — предельный возраст, учитываемый в расчете. Нетрудно получить еще две функции Nx, которые следует применять в случаях, когда выплаты производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо: (6.3) Для платежей пренумерандо: (6.4) Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются Сх и Мх: (6.5) (6.6) Примеры коммутационных чисел (т = 12):
Коммутационные числа не следует интерпретировать содержательно. Их, скорее, надо воспринимать как чисто технические, вспомогательные величины. Нельзя забывать и о том, что они существенно зависят от принятой процентной ставки.
Дата добавления: 2015-03-31; Просмотров: 706; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |