Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Приведите пример

Рассмотрим базис (e1,..., en) в пространстве Rn.

Линейный оператор A: Rn → Rn: Ax = y. Разложим по базису x = x1e1+...+xnen, где

(x1,..., xn) - координаты вектора x в указанном базисе. Тогда в силу линейности оператора

A получим: Ax = x1Ae1 +... + xnAen

Разложим элементы Aei, i = 1..n по указанному базису:Ae1 = a11e1 + a21e2 +... + an1en,

...

Aen = a1ne1 + a2ne2 +... + annen,

Матрицей линейного оператора A в указанном базисе (e1,..., en) называется матрица, составленная из коэффициентов разложения

A =a11... a1n

.........

an1... ann

Пример: Линйный оператор отражения от плоскости Oxy: A(x, y, z) = (x, y,−z) имеет

Матрицу A =1 0 0

0 1 0

0 0 −1

49. Как изменяется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому? Ответ проиллюстрируйте на примере.

Теорема (о переходе к другому базису) Пусть Ae - матрица линейного оператора A в базисе E = (e1,..., en). Пусть Af - матрица линейного оператора A в базисе F = (f1,..., fn).

Тогда матрицы связаны соотношением:

Af = P−1e→fAePe→f

где Pe→f - матрица перехода от базиса E к базису F: F = EPe→f.

50. Найдите матрицу преобразования пространства в стандартном базисе: а) - поворот на угол ; б) - симметричное отражение векторов относительно прямой .

a) A =cos α −sin α

sin α cos α

b) A =0 1

1 0

Дата добавления: 2015-03-31