Универсальные множества. Дополнение и его свойства

Законы ассоциативности.

Законы коммутативности.

Свойства операций над множествами.

Для любых множеств , :

а)

б)

Доказательство:

b. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно дока­зать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества.

Пусть .

a. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно дока­зать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества. Пусть .

Для любых множеств , :

a.

b.

Доказательство:

a.

.

b.

.

3. Законы дистрибутивности.

Для любых множеств , , :

a.

b.

Доказательство:

a.

.

b.

.

4. Законы идемпотентности.

a.

b.

Доказательство:

1. 

.

1. 

5. Законы для разности.

Для любых множеств , , :

a. ,

b. ,

c. .

Доказательство:

1. 

.

1. 

.

1. .

6. Законы де Моргана для разности.

Для любых множеств , , :

a. ,

b. .

Доказательство:

1. 

1. 

Определение. Если все рассматриваемые множества являются под­множествами некоторого множества , то - универсальное множество.

Пример. Множество действительных чисел - универсальное числовое множе­ство.

Определение. Пусть , тогда дополнением множества , обозна­чается или , называется множество, определяемое формулой: .

Свойства дополнения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) .

Свойства 1) и 2) – законы де Моргана для дополнения.

Доказательства:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) Дано: , доказать: , т.е. нужно доказать, что каждый элемент из лежит в .

Возьмём , .

Та­ким образом, .

6) .

Задача.

1) В классе 25 человек, каждый из которых владеет, по крайней мере, одним языком – английским или немецким. 17 человек владеют английским, 15 – немецким. Сколько человек владеет только английским языком? Только немецким?

Решение:

Пусть множество А – множество людей, знающих английский, В – множество людей, знающих немецкий.

Тогда

пусть х – число учеников, владеющих двумя языками.

Тогда

Найдем количество учеников, владеющих только английским:

Найдем количество учеников, владеющих только немецким:

Ответ: 10 учеников владеют только английским языком, а 8 учащихся – только немецким.

Алгебра множеств. Пусть - это множество множеств, т.е. . На множестве заданы операции .

Множество с операциями на нём называется алгеброй множеств.

- алгебра множеств.

Дата добавления: 2015-03-31