Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приклад. Дано еліпс, розміщений у площині




Дано еліпс, розміщений у площині . Записати рівняння поверхні обертання, утвореної при обертанні цього еліпса навколо осі .

Розв’язання

За формулою (3) рівняння цієї поверхні обертання має вигляд:

.

Ця поверхня називається еліпсоїдом обертання.

 

§ 4. Циліндричні поверхні

Означення 4.1. Поверхня, утворена внаслідок руху прямої, яка перетинає задану криву і залишається паралельною даній прямій, називається циліндричною поверхнею.

Прямі, які повністю лежать на цій поверхні і паралельні

 
 

заданій прямій, називаються твірними циліндричної поверхні, а крива L, яку перетинають ці твірні, називається напрямною цієї поверхні (рис. 7.7).

Припустимо, що напрямна крива циліндричної поверхні розміщена в деякій площині, а твірні циліндричної поверхні перпендикулярні до цієї площини. Введемо прямокутну систему координат так, щоб напрямна крива L містилась у площині , а твірні були паралельні до осі (рис. 7.8).

Припустимо, що крива L у плоскій системі координат задана рівнянням

(1)

Нехай – довільна точка циліндричної поверхні, тоді її проекція на площину лежить на кривій L. Тому . Отже, координати довільної точки М циліндричної поверхні задовольняють рівняння (1).

Якщо ж деяка точка не лежить на даній циліндричній поверхні, то її проекція на площину не лежать на кривій L і, отже, .

Таким чином, рівняння (1) задовольняють координати довільної точки циліндричної поверхні і тільки вони, тому це рівняння буде рівнянням даної циліндричної поверхні.

Аналогічно встановлюємо, що коли напрямна крива задана рівнянням у площині , то в просторовій системі координат це рівняння задає циліндричну поверхню, твірні якої паралельні до осі .

Якщо ж крива задана рівнянням у площині , то в просторовій системі координат це рівняння буде рівнянням циліндричної поверхні, твірні якої паралельні до осі .

В результаті приходимо до такого висновку: якщо в рівнянні поверхні відсутня одна із змінних, то ця поверхня є циліндром, твірні якого паралельні до тієї координатної осі, змінна якої відсутня в даному рівнянні.

Приклади

1) Еліптичний циліндр (рис. 7.9).

Його рівняння

.

Напрямною є еліпс з півосями і .

2) Гіперболічний циліндр (рис. 7.10).

Рівняння

.

Напрямною є гіпербола з дійсною піввіссю .

3) Параболічний циліндр (рис. 7.11).

Його рівняння

.

Напрямною є парабола.

На прикладі покажемо, яким чином можна знаходити рівняння циліндричної поверхні, твірні якої мають довільний напрям.

Задача. Скласти рівняння циліндричної поверхні, напрямна якої лежить в площині і має рівняння , а твірні паралельні вектору .

Розв’язання

Рівняння напрямної у просторі матиме вигляд:

(2)

Нехай – довільна точка циліндричної поверхні. Проведемо через неї твірну , де – точка перетину цієї твірної з площиною , а отже, – і з напрямною (рис. 7.12). Нехай координрати точки . Оскільки , то її координати задовольняють рівняння (2), тому

. (3)

Запишемо параметричні рівняння твірної , заданої точкою і напрямним вектором .

(4)

Змінні в цьому рівнянні є координатами точок твірної, а отже, й координатами точок циліндричної поверхні. Координати точки задовольняють рівняння (3) і (4). Тому, виключаючи з рівнянь (3) і (4), дістаємо співвідношення між координатами точок циліндра, тобто рівняння циліндра. Маємо:

Отже, рівняння даної циліндричної поверхні:

.

 

§ 5. Конічні поверхні




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-03-31; Просмотров: 506; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.