Доведення

Теорема 5.1.

Якщо – однорідна функція, а рівняння

(1)

задає деяку поверхню в просторі, то це буде конічна поверхня з вершиною в початку координат.

Нехай – довільна точка цієї поверхня, а – довільна точка, яка лежить на прямій ОМ (рис. 7.14). Покажемо, що точка М₁ також належить даній поверхні. , тому . Розглянемо вектори і . Оскільки , то , звідки . Тоді , оскільки .

Таким чином, разом з точкою М даній поверхні належить і точка М ₁, що лежить на прямій ОМ. Звідси випливає, що рівняння (1) є рівнянням конічної поверхні з вершиною в початку координат. Теорему доведено.

Будемо розглядати тепер конічні поверхні другого порядку. З доведеної теореми випливає, що загальне рівняння конічної поверхні другого порядку має вигляд:

. (2)

Пізніше буде встановлено, що за допомогою перетворення системи координат у рівнянні (2) можна позбутися добутків змінних, тобто рівняння (2) може бути зведене до вигляду , або, якщо ,

=0. (3)

Якщо всі числа одного знаку, то це рівняння задає деяку уявну поверхню з однією дійсною точкою . Її називають уявним конусом.

Припустимо, що серед цих чисел є числа різного знаку. Нехай, наприклад, . Тоді, ввівши відповідні позначення, рівняння (3) можна записати у вигляді

. (4)

Це рівняння називається канонічним рівнянням конуса. З нього випливають такі його властивості.

1. Конус симетричний відносно координатних площин, координатних осей і початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

2. Якщо цей конус перетнути площиною , паралельною до площини , то в перерізі утвориться крива, проекція якої на площину має рівняння

, або .

Це є рівняння еліпса.

Отже, напрямною кривою даного конуса є еліпс. При зростанні абсолютної величини розміри еліпса збільшуються. Вісь у цьому випадку називається віссю конуса (рис. 7.15).

Якщо віссю конуса є вісь , то рівняння конічної поверхні другого порядку таке:

.

Якщо ж віссю конуса є вісь ОХ, то його рівняння буде

.

На прикладі покажемо, як знаходити рівняння довільної конічної поверхні, якщо відомі її вершина і напрямна крива.

Задача. Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною у точці і направляючою , що лежить у площині і задається рівнянням .

Розв’язання

Через довільну точку конічної поверхні проведемо твірну (рис. 7.16). Вона перетне напрямну у деякій точці , тому

Запишемо рівняння твірної конуса за двома точками :

.

Змінні в цьому рівнянні є координатами точок твірної, а отже, і точок конічної поверхні. Складемо систему рівнянь і вилучимо з неї :

Із останнього рівняння маємо:

.

Це і є рівняння шуканої конічної поверхні.

§ 6. Еліпсоїд

Означення 6.1. Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

. (1)

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпсоїда, а система координат, відносно якої задано цей еліпсоїд, називається канонічною системою координат.

Аналізуючи рівняння (1), дослідимо основні властивості еліпсоїда, визначимо його форму і побудуємо зображення.

Не втрачаючи загальності, можна вважати, що .

Дата добавления: 2015-03-31