Приклад 4

Приклад 3.

Приклад 1.

Знайти центр еліпсоїда

.

Розв’язання

Для еліпсоїда , тому система (3) записується у вигляді

Отже, ми переконалися, що точка є єдиним центром еліпсоїда, заданого канонічним рівнянням.

Приклад 2. Знайти центр гіперболічного циліндра

.

Розв’язання

Для цієї поверхні

.

Із формули (3) маємо:

а це є рівняння координатної осі .

Отже, гіперболічний циліндр має пряму центрів.

Знайти центр поверхні

.

Розв’язання

Зауважимо, що це – вироджена поверхня другого порядку, що розпадається на пару паралельних площин:

Для цієї поверхні

За формулами (3) маємо:

.

Отже, ця поверхня має площину центрів.

Знайти центр гіперболічного параболоїда .

Розв’язання

Перепишемо рівняння так:

.

Тоді . За формулами (3) маємо:

Система розв’язків не має, отже, гіперболічний параболоїд не має центра.

Якщо система (3) має тільки один розв’язок, а відповідно поверхня (1) має тільки один центр, то вона називається центральною. До таких поверхонь належать еліпсоїд, однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди, конус.

Якщо ж ця система має безліч розв’язків, то можливі два випадки:

1) Ця поверхня має лінію центрів, тобто всі її центри розміщені на прямій. Це буде тоді, коли одне рівняння системи (3) є наслідком двох інших рівнянь. Відповідними поверхнями є еліптичний і гіперболічний циліндри, пара площин, що перетинаються.

2) Якщо два рівняння системи (3) є наслідками третього рівняння, то тоді поверхня має площину центрів. Такою поверхнею є пара паралельних площин.

Якщо поверхня не має центра, то вона називається нецентральною. Такими поверхнями є еліптичний і гіперболічний параболоїди.

§14. Дотична площина до поверхні другого порядку

Дата добавления: 2015-03-31