Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y (n) = (y (n- 1)) '.

(6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u (x) v (x))⁽ⁿ⁾ = u (n) v+nu (n- 1) v'+ (n (n- 1) / 2) u (n- 2) v''+...+ uv (n) =

= S _{k =} 0 ⁿC_n^ku (n-k) v (k),

где

C_n^k = (n (n- 1)(n- 2)...(n-k+ 1)) /k!, u (0) = u, v (0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = e^x (x ²-1). Найти y ⁽¹⁰⁾. Положим u (x) = e ^x,
v (x) = (x ²-1). Согласно формуле Лейбница

y (10) = (e^x)⁽²⁵⁾(x 2-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x 2-1) '+ (10 · 9 / 2) (e^x)⁽⁸⁾(x 2-1) '',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y (10) = e^x (x 2-1)+10 e^x 2 x+ (10 · 9 / 2) e^x (2) = e^x (x 2+20 x+ 89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f' (x) dx.

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение d(d y) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = d x, называется вторым дифференциалом функции y = f (x) и обозначается d² y.

Таким образом,

d 2 y = d (dy) | d x = dx.

Дифференциал dⁿ y можно ввести по индукции.

Определение 7. Значение d(d^n-1 y) дифференциала от(n- 1)-го дифференциала при d x = d x, называется n- м дифференциалом функции y = f (x) и обозначается dⁿ y.

Найдем выражение для d² y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = f (t), то есть является функцией переменной t.

1. пусть x = f (t), тогда

d 2 = d (dy) | d x = dx = d (f' (x) dx) | d x = dx =

= {d (f' (x)) dx+f' (x)d(dx)} | d x = dx = f'' (x)(dx)² +f' (x) d 2 x.

Итак,

d 2 y = f'' (x)(dx)^2 +f' (x) d 2 x.

(7)

1. пусть x - независимая переменная, тогда

d 2 y = f'' (x)(dx)²,

так как в этом случае d(dx) = (dx)'d x = 0.

Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:

dⁿy = f (n)(x)(dx) ⁿ.

Из этой формулы следует, что f⁽ⁿ⁾ = dⁿy/(dx)ⁿ.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).

2. определение экстремума. Теорема ферма. Геометрическая трактовка.

Дата добавления: 2015-03-29