Основные методы экологических исследований 8 страница

атм.

Зна­чит, наи­боль­шее дав­ле­ние, до ко­то­ро­го можно сжать воз­дух в ко­ло­ко­ле, равно 7 ат­мо­сфе­рам.

Ответ: 7.

13. B 13. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Ре­ше­ние.

Из усло­вия най­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара

.

Ответ: 10.

Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар за x минут, а пер­вая — за x + 6 минут. В одну ми­ну­ту они на­пол­ня­ют со­от­вет­ствен­но и часть ре­зер­ву­а­ра. По­сколь­ку за 4 ми­ну­ты обе трубы за­пол­ня­ют весь ре­зер­ву­ар, за одну ми­ну­ту они на­пол­ня­е­ют одну чет­вер­тую часть ре­зер­ву­а­ра:

.

Далее можно ре­шать по­лу­чен­ное урав­не­ние. Но можно за­ме­тить, что при по­ло­жи­тель­ных x функ­ция, на­хо­дя­ща­я­ся в левой части урав­не­ния, убы­ва­ет. По­это­му оче­вид­ное ре­ше­ние урав­не­ния — един­ствен­но. По­сколь­ку вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­а­ра в ми­ну­ту, она за­пол­нит весь ре­зер­ву­ар за 6 минут.

Ответ: 6.

15. B 15. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 3.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­лу­ча­ем: или от­ку­да

или

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни на от­рез­ке

Ответ: а)

б)

17. C 2. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны рёбер и и вер­ши­ну Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна

Ре­ше­ние.

Пусть — се­ре­ди­на а — се­ре­ди­на Тогда пло­щадь се­че­ния равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка Най­дем по­сле­до­ва­тель­но и и — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­но. Так как эти тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные (по­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная),

Най­дем те­перь из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка В нем ка­те­ты равны Ги­по­те­ну­за по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, будет равна

Те­перь най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка Для этого про­ве­дем вы­со­ту ко­то­рая, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, равна и вы­чис­лим пло­щадь:

Ответ:

18. C 3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

Сде­лав за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем:

1)

2)

Ответ:

19. C 4. Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что ВD: DC = 1: 3. Най­ди­те синус угла A.

Ре­ше­ние.

Пусть BD = x, тогда по усло­вию DC = 3 x.

По­сколь­ку D — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ ADB = ∠ ADC = 90°, зна­чит, точки В, С и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠ C = 60°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC = DC − BD = 2 x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми В и С, зна­чит, BC = DC + BD = 4 х.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ: или

20. C 5. Из­вест­но, что зна­че­ние па­ра­мет­ра а та­ко­во, что си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Най­ди­те это зна­че­ние па­ра­мет­ра a и ре­ши­те си­сте­му при най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

Ре­ше­ние.

Из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы по­лу­ча­ем

.

За­ме­тим, что если пара — ре­ше­ние си­сте­мы, то пара — также ре­ше­ние этой си­сте­мы. По­сколь­ку си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, то этим ре­ше­ни­ем может быть толь­ко пара . Таким об­ра­зом, и из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Про­ве­рим, дей­стви­тель­но ли си­сте­ма при най­ден­ных зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

1. Если , то си­сте­ма дей­стви­тель­но имеет един­ствен­ное ре­ше­ние:

.

Тогда

.

2. Если , то си­сте­ма имеет три ре­ше­ния:

Каж­до­му из най­ден­ных зна­че­ний x со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние

.

Ответ: си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при .

21. C 6. За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были за­ду­ма­ны?

б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 7 раз. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?

в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

Ре­ше­ние.

а) Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 от­ри­ца­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх от­ри­ца­тель­ных чисел. Зна­чит, от­ри­ца­тель­ное число одно, и это число — наи­мень­шее число в на­бо­ре, то есть −6. Наи­боль­шее число в на­бо­ре 11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух по­ло­жи­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из по­ло­жи­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко 4 и 7 дают в сумме 11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −6, 4 и 7.

б) Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2 k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы; три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел со­вла­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Ана­ло­гич­но, если было за­ду­ма­но не более трёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более од­но­го нуля. Зна­чит, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных чисел, среди ко­то­рых есть нуль, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске ока­жет­ся ровно семь нулей. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел — 5.

в) Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −6, 4, 7; б) 5; в) нет.

ОТВЕТЫ Вариант № 12

1. B 1. В доме, в ко­то­ром живет Маша, 9 эта­жей и не­сколь­ко подъ­ез­дов. На каж­дом этаже на­хо­дит­ся по 4 квар­ти­ры. Маша живет в квар­ти­ре № 130. В каком подъ­ез­де живет Маша?

Ре­ше­ние.

В доме, в ко­то­ром живет Маша, на де­вя­ти эта­жах каж­до­го подъ­ез­да 9 4 = 36 квар­тир. Раз­де­лим 130 на 36:

.

Зна­чит, Маша живет в 4-м подъ­ез­де.

Ответ: 4.

2. B 2. Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 5% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,4 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку весом в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 5 кг в те­че­ние суток?

Ре­ше­ние.

В одной таб­лет­ке ле­кар­ства со­дер­жит­ся 20 0,05 = 1 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства. Су­точ­ная норма ак­тив­но­го ве­ще­ства для ре­бен­ка весом 5 кг со­ста­вит: 1,4 5 = 7 мг. Тем самым, ре­бен­ку сле­ду­ет дать 7 таб­ле­ток.

Ответ: 7.

3. B 3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик осад­ков в Ка­ли­нин­гра­де с 4 по 10 фев­ра­ля 1974 г. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ют­ся дни, на оси ор­ди­нат — осад­ки в мм.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да вы­па­да­ло от 2 до 8 мм осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в те­че­ние трех дней — 7, 8 и 9 фев­ра­ля вы­па­да­ло от 2 до 8 мм осад­ков.

4. B 4. Не­за­ви­си­мое агент­ство каж­дый месяц опре­де­ля­ет рей­тин­ги но­вост­ных сай­тов на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти , опе­ра­тив­но­сти и объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций. Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся це­лы­ми чис­ла­ми от −2 до 2. Ито­го­вый рей­тинг вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

В таб­ли­це даны оцен­ки каж­до­го по­ка­за­те­ля для не­сколь­ких но­вост­ных сай­тов. Опре­де­ли­те наи­выс­ший рей­тинг но­вост­ных сай­тов, пред­став­лен­ных в таб­ли­це. За­пи­ши­те его в ответ, округ­лив до це­ло­го числа.

Сайт	Ин­фор­ма­тив­ность	Опе­ра­тив­ность	Объ­ек­тив­ность
VoKak.ru		−1
NashiNovosti.com	−2		−1
Bezvrak.ru
Zhizni.net	−1	−1	−2

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

Сайт VoKak.ru:

Сайт NashiNovosti.com:

Сайт Bezvrak.ru:

Сайт Zhizni.net:

Таким об­ра­зом, наи­выс­ший рей­тинг имеет сайт Bezvrak.ru, он равен 75.

Ответ: 75.

5. B 5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (7;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 12.

6. B 6. На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет.

Ре­ше­ние.

Ан­дрей вы­учил 60 – 3 = 57 во­про­сов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет во­прос равна

.

Ответ: 0,95.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

.

Ответ: 38.

8. B 8.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не равен –0,6, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 25.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3; 0) и (4,2; 7). В них со­дер­жат­ся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

10. B 10. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де – се­ре­ди­на ребра , – вер­ши­на. Из­вест­но, что =5, а =6. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

Ответ: 45.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пе­робра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 4.

12. B 12. Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях за­ря­да ша­ри­ка Кл, ин­дук­ции маг­нит­но­го поля Тл и ско­ро­сти м/с:

.

Ответ: 30.

13. B 13. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти . Из усло­вия имеем:

Зна­чит, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са, катет, рав­ный ра­ди­у­су, вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы. Тогда он лежит на­про­тив угла . Сле­до­ва­тель­но, угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен .

Ответ: 60.

14. B 14. Васе надо ре­шить 490 задач. Еже­днев­но он ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вася решил 5 задач. Опре­де­ли­те, сколь­ко задач решил Вася в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся за 14 дней.

Ре­ше­ние.

В пер­вый день Вася решил задач, в по­след­ний — задач. Всего надо ре­шить задач. По­сколь­ку , где имеем:

.

Тогда

задач.

Дата добавления: 2015-04-23