Основные методы экологических исследований 9 страница

Ответ: 65.

15. B 15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на . Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4,5.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем:

С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му про­ме­жут­ку (см. рис.). По­лу­ча­ем числа: .

Ответ: а) б)

17. C 2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 4, а бо­ко­вые ребра равны 3, най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до пря­мой .

Ре­ше­ние.

Так как ABCDEF пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, то пря­мые BE и CD па­рал­лель­ны, па­рал­лель­ны также пря­мые и , сле­до­ва­тель­но, пря­мые и па­рал­лель­ны. Рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой , равно рас­сто­я­нию между пря­мы­ми и .

В тра­пе­ции :

, , , ,

тогда

.

Ответ: .

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ния обоих не­ра­венств ищем при усло­вии Так как при этом усло­вии то решая пер­вое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем

Решая вто­рое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние си­сте­мы яв­ля­ет­ся общей ча­стью ре­ше­ний двух не­ра­венств. Так как по­лу­ча­ем: или

Ответ:

19. C 4. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно На одной из них лежит точка а на дру­гой — точки и при­чем тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что либо либо (или ).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). Пусть — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка с ос­но­ва­ни­ем — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник Тогда — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства на­хо­дим, что

Вто­рой слу­чай. (рис. 2) Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай.

Тре­тий слу­чай со­сто­ит в том, что и эти сто­ро­ны об­ра­зу­ют ост­рый угол. Тогда вы­со­та будет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка и В этом слу­ча­ем ра­ди­ус будет равен

Ответ:

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

Пусть t = cos x, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх,

сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии (рис. 1) от­ку­да либо при усло­вии (рис. 2) от­ку­да

Ответ:

21. C 6. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Ре­ше­ние.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел по­ло­жи­тель­ных, от­ри­ца­тель­ных и нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

Во­прос а) За­ме­тим, что в лувой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

Во­прос б) При­ве­дем ра­вен­ство к виду Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

Во­прос в) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да Так как по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ:а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

ОТВЕТЫ Вариант № 13

1. B 1. Павел Ива­но­вич купил аме­ри­кан­ский ав­то­мо­биль, спи­до­метр ко­то­ро­го по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Аме­ри­кан­ская миля равна 1609 м. Ка­ко­ва ско­рость ав­то­мо­би­ля в ки­ло­мет­рах в час, если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет 65 миль в час? Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа.

Ре­ше­ние.

Если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет ско­рость 65 миль в час, зна­чит, в ки­ло­мет­рах это будет 65 1,609 = 104,585 км в час.

Ответ: 105.

2. B. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 80 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 но­яб­ря по­ка­зы­вал 12 625 ки­ло­ватт-часов, а 1 де­каб­ря по­ка­зы­вал 12 802 ки­ло­ватт-часа. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за но­ябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за но­ябрь со­став­ля­ет 12 802 − 12 625 = 177 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за но­ябрь нужно за­пла­тить 1,8 177 = 318,6 рубля.

Ответ: 318,6.

3. B 3. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ли США, де­ся­тое место — Ка­зах­стан. Какое место за­ни­ма­ла Ин­до­не­зия?

Ре­ше­ние.

Рас­по­ло­жим стра­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния ко­ли­че­ства вы­плав­ки меди в год:

1) США

2) Перу

3) Китай

4) Ав­стра­лия

5) Ин­до­не­зия

6) Рос­сия

7) Ка­на­да

8) Поль­ша

9) Зам­бия

10) Ка­зах­стан

Ин­до­не­зия на­хо­дит­ся на пятом месте

Ответ: 5.

4. B 4. Ме­бель­ный салон за­клю­ча­ет до­го­во­ры с про­из­во­ди­те­ля­ми ме­бе­ли. В до­го­во­рах ука­зы­ва­ет­ся, какой про­цент от суммы, вы­ру­чен­ной за про­да­жу ме­бе­ли, по­сту­па­ет в доход ме­бель­но­го са­ло­на.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Про­цент от вы­руч­ки, по­сту­па­ю­щий в доход са­ло­на	При­ме­ча­ния
«Альфа»	5%	Из­де­лия ценой до 20 000 руб.
«Альфа»	3%	Из­де­лия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета»	6%	Все из­де­лия
«Омик­рон»	4%	Все из­де­лия

В прейс­ку­ран­те при­ве­де­ны цены на че­ты­ре ди­ва­на. Опре­де­ли­те, про­да­жа ка­ко­го ди­ва­на наи­бо­лее вы­год­на для са­ло­на. В ответ за­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей по­сту­пит в доход са­ло­на от про­да­жи этого ди­ва­на.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Из­де­лие	Цена
«Альфа»	Диван «Коала»	15 000 руб.
«Альфа»	Диван «Не­ва­ляш­ка»	28 000 руб.
«Бета»	Диван «Винни-Пух»	17 000 руб.
«Омик­рон»	Диван «Об­ло­мов»	23 000 руб.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При про­да­же ди­ва­на «Коала» по цене 15 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 15 000 0,05 = 750 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Не­ва­ляш­ка» по цене 28 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 28 000 0,03 = 840 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Винни-Пух» по цене 17 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 17 000 0,06 = 1020 руб.

При про­да­же ди­ва­на «Об­ло­мов» по цене 23 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 23 000 0,04 = 920 руб.

По­это­му для са­ло­на наи­бо­лее вы­год­на про­да­жа ди­ва­на «Винни-Пух» фирмы «Бета», доход от ко­то­рой со­ста­вит 1020 руб­лей.

5. B 5. Два угла тре­уголь­ни­ка равны и . Най­ди­те тупой угол, ко­то­рый об­ра­зу­ют вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, вы­хо­дя­щие из вер­шин этих углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов в вы­пук­лом мно­го­уголь­ни­ке равна 360 гра­ду­сам, сле­до­ва­тель­но

.

Ответ: 130.

6. B 6. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Ре­ше­ние.

Най­дем ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что цель не будет уни­что­же­на за n вы­стре­лов. Ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при пер­вом вы­стре­ле равна 0,6, а при каж­дом сле­ду­ю­щем — 0,4. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при n вы­стре­лах равна:

Оста­лось найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства

По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя зна­че­ния , рав­ные 1, 2, 3 и т. д. на­хо­дим, что ис­ко­мым ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся . Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо сде­лать 5 вы­стре­лов.

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

Можно ре­шать за­да­чу «по дей­стви­ям», вы­чис­ляя ве­ро­ят­ность уце­леть после ряда по­сле­до­ва­тель­ных про­ма­хов:

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

По­след­няя ве­ро­ят­ность мень­ше 0,02, по­это­му до­ста­точ­но пяти вы­стре­лов по ми­ше­ни.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень равна сумме ве­ро­ят­но­стей по­ра­зить ее при пер­вом, вто­ром, тре­тьем и т. д. вы­стре­лах. По­это­му за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства

В нашем слу­чае не­ра­вен­ство ре­ша­ет­ся под­бо­ром, в общем слу­чае по­на­до­бит­ся фор­му­ла суммы гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, ис­поль­зо­ва­ние ко­то­рой све­дет за­да­чу к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му не­ра­вен­ству.

7. B 7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

.

Ответ: −1,25.

8. B 8.

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: –0,25.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2 x −11 или сов­па­да­ет с ней.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −2x−11 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны –2. Най­дем ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых y'(x₀) = −2, гео­мет­ри­че­ски это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = −2. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 5.

Ответ: 5.

10. B 10. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8. Пло­щадь ее по­верх­но­сти равна 248. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и как

.

Пло­щадь ромба

.

Тогда бо­ко­вое ребро най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти:

.

Ответ: 10.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

По­это­му

Ответ:−15.

12. B 12. К ис­точ­ни­ку с ЭДС В и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем Ом, хотят под­клю­чить на­груз­ку с со­про­тив­ле­ни­ем Ом. На­пря­же­ние на этой на­груз­ке, вы­ра­жа­е­мое в воль­тах, даeтся фор­му­лой . При каком наи­мень­шем зна­че­нии со­про­тив­ле­ния на­груз­ки на­пря­же­ние на ней будет не менее 50 В? Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства В при из­вест­ных зна­че­ни­ях внут­рен­не­го со­про­тив­ле­ния Ом, ЭДС В:

Ом.

Ответ: 5.

13. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 12, объем равен 200. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той равен , от­ку­да пло­щадь ос­но­ва­ния Сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда , а диа­го­наль . Бо­ко­вое ребро най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 13.

14. B 14. По морю па­рал­лель­ны­ми кур­са­ми в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют два су­хо­гру­за: пер­вый дли­ной 120 мет­ров, вто­рой – дли­ной 80 мет­ров. Сна­ча­ла вто­рой су­хо­груз от­ста­ет от пер­во­го, и в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни рас­сто­я­ние от кормы пер­во­го су­хо­гру­за до носа вто­ро­го со­став­ля­ет 400 мет­ров. Через 12 минут после этого уже пер­вый су­хо­груз от­ста­ет от вто­ро­го так, что рас­сто­я­ние от кормы вто­ро­го су­хо­гру­за до носа пер­во­го равно 600 мет­рам. На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость пер­во­го су­хо­гру­за мень­ше ско­ро­сти вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

пока су­хо­гру­зы пе­рей­дут из пер­во­го по­ло­же­ния во вто­рое, вто­рой су­хо­груз пе­ре­ме­стил­ся от­но­си­тель­но пер­во­го на

м.

Пусть – раз­ность ско­ро­стей су­хо­гру­зов, тогда

м/мин км/ч

Ответ: 6.

15. B 15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Дата добавления: 2015-04-23