Обобщенное понятия угла и круговой дуги. Различные меры углов и дуг. Определение тригонометрических функций угла .Знаки тригонометрических функций. Формулы приведения

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф «Длина дуги» в разделе «Геометрическое место точек. Круг и окружность»), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением:

= l / r.

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (A m B = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:

2 = C / r.

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:

Обратно,

Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника (рис.2):

1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c.

2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c.

3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b.

4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a.

5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b.

6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a.

Аналогично записываются формулы для другого острого угла B (Запишите их, пожалуйста!).

П р и м е р. Прямоугольный треугольник ABC (рис.2) имеет катеты:

a = 4, b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A.

Р е ш е н и е. Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:

c ² = a ² + b ²,

Согласно вышеприведенным формулам имеем:

sin A = a / c = 4 / 5; cos A = b / c = 3 / 5; tan A = a / b = 4 / 3.

Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице:

Углы 0° и 90°, строго говоря, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций (см. далее) эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.

Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов (не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 (рис.3).

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A (начальная точка). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в 1-ой четверти (COA), во 2-ой четверти (DOA), в 3-ей четверти (EOA) или в 4-ой четверти (FOA). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

Линия синуса угла (рис.4) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла (рис.4) – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.

Линия тангенса (рис.7) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра.

Линия котангенса (рис.8) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра.

Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения (D, E, и т.д., рис.7) линии тангенса и линии радиуса.

Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения (Р, Q, и т.д., рис.8) линии котангенса и линии радиуса.

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.

Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.

Точки максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. Определения. Примеры.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения D x и D y имеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).
Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂) ³ f (x₁), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x₀, x₁ ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале (a, b) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a, b) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения D x и D y имеют разные знаки.
График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f(x₂) £ f(x₁), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале (a, b). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x₀, x₁ ] она сохраняет постоянное значение C.

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x ₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x ₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x ₁ максимум. В точке x ₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x ₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x ₂ минимум. Аналогично для точки x ₄.

Функция y=f(x) в точке x ₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x ₀, т.е. если существует такая окрестность точки x ₀, что для всех x ≠ x ₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x ₀ ).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x ₀, если существует такая окрестность точки x ₀, что для всех x ≠ x ₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x₀.

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x ₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x ₁. В частности, f (x ₁) < f (x ₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции- понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x₀ всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x₀, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x₀. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных.

Множество точек на плоскости. Подмножества. Пересечение и объединение множеств.

Практическая часть

Дополнительные вопросы при ответе на билет.

ü Сделайте заключение о количестве корней трехчлена , если и удовлетворяют неравенству

ü Определить , если , , где и - корни функции.

ü Изобразите множество точек на координатной плоскости

ü Изобразите множество точек на координатной плоскости

ü Четные и нечетные функции. (№ 100)

ü , Изобразить множество точек на координатной плоскости

ü Постройте график функции

ü Постройте произвольный график функции и выполните преобразование

ü Постройте множество плоскости для которых

ü В отделе института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6- человек знает английский, 6- немецкий, семь французский, 4- знают английский и немецкий, 3- немецкий и французский. 2- французский и английский. 1- человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Только французский? Сколько человек знает ровно один язык?

ü Нормандское окно имеет форму прямоугольника, завершенное полукругом. Периметр окна равен а. каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

ü На плоскости рОq изобразить множество точек для которых

х²+ (р-1)+ q +2 а) Имеет различные корни б) не имеет корней в) имеет один корень.

ü , исследовать и построить график функции.

ü , исследовать и построить график функции.

ü , исследовать и построить график функции.

ü Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения была наименьшей.

ü , исследовать и построить график функции.

Дата добавления: 2015-04-23