Теорема о трёх перпендикулярах

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 10 марта 2012; проверки требуют 2 правки.

Содержание [убрать] · 1 Формулировка теоремы o 1.1 Доказательство · 2 Обратная теореме о трех перпендикулярах o 2.1 Доказательство · 3 Пример использования o 3.1 Решение · 4 Ссылки

[править]Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

[править]Доказательство

Пусть — перпендикуляр к плоскости , — наклонная и — прямая в плоскости , проходящая через точку и перпендикулярная проекции . Проведем прямую параллельно прямой . Прямая перпендикулярна плоскости (так как она параллельна ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, перпендикулярна прямой . Проведем через параллельные прямые и плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости , это по условию и по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой .

[править]Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

[править]Доказательство

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости 'ы'α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по теореме о трех перпендикулярах, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

[править]Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

[править]Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

9. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей.

Дата добавления: 2015-04-23