Группа преобразований подобия и её подгруппы

Группа подобия и ее подгруппы.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Подобие сохраняет углы между полупрямыми

Свойства подобия: 1.Подобие переводит прямые в прямые,полупрямые– в полупрямые,отрезки – в отрезки.

Преобразование подобия

Преобразование подобия

Если при преобразовании фигуры F в фигуру F` расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз, то такое преобразование называется преобразованием подобия. Т.е. произвольные точки AB фигуры F переходят в точки A`B` фигуры F`, так что A`B` =k*AB. Число k – это коэффициент подобия.

Преобразование фигуры Fназывается преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е.для любых точекX и Yфигуры Fи точек X’, Y’ фигурыF’, в которые он переходят,X’Y’= k * XY.

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Теорема1.Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований,называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и -преобразования подобия с коэффициентами и ,то -преобразования подобия с коэффициентом .Действительно является преобразованием плоскости.Докажем, что для любых двух точек Mи Nи их образов , Выполняется равенство .Обозначим и ,тогда , .По основному свойству преобразования подобия , .Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть –преобразование подобия плоскости.Так как изменяет всё расстояние в отношение ,то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются.Следовательно,множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а,значит, и группой.

Определение.Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Дата добавления: 2015-04-23