Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы

и, как следствие этого, всегда вещественны.^[1]

[править]Классификация кривых второго порядка

[править]Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

§ Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если

§ эллипс — при условии и ;

§ частный случай эллипса — окружность — при условии или

§ мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии

§ гипербола — при условии

§ Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если

§ парабола — при условии

[править]Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если . Могут возникать следующие варианты:

§ вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии

§ пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии

§ вырожденная парабола — при условии

§ пара вещественных параллельных прямых — при условии

§ одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии

§ пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии

[править]Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

Если выполняется условие то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае () все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно и получим:

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

где — координаты относительно новой системы.

[править]Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

где — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

41. Эллипсоиды и гиперболоиды. Их канонические уравнения и виды

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Объём эллипсоида:

Площадь поверхности эллипсоида вращения:

[править]Литература

Гиперболоид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность). В математике гиперболоид — это вид поверхностивторого порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: . В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

42. Параболоиды их канонические уравнения и виды.

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

§ если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

§ если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

§ если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

§ Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида

§ ,

§ где и одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

§ Если то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

§ Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

§ .

§ Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

§ Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.

43. Цилиндр и конус, их канонические уравнения и вид поверхностью

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Дата добавления: 2015-04-23